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histoire de compacts



  1. #1
    christophe_de_Berlin

    histoire de compacts


    ------

    Bonjour,

    J´ai un exo de topo où j´ai déja le corrigé, mais moi j´ai résolu cet exo complètement différement, et j´aimerais savoir si ma démarche est correcte. Il s´agit de la chose suivante:

    Soit E un espace métrique compact et H und famille d´applications continues h, de E -> IR
    On pose Z(H) = {x de E / pour tout h on ait h(x) = 0}

    Prouver que Z(H) est compact.

    Je me propose de prouver que Z(H) est fermé. Cela suffit pour prouver la compacité, vu que E est compact.

    Je dis donc: soit xn, une suite de points de Z(H) qui converge vers un point x de E. Pour toute fonctions h de H et tout n de IN, on a:
    h(xn) = 0

    Comme h est continue, la suite h(xn) converge vers h(x). Et comme tous les h(xn) sont nuls, cette limite ne peut être que nulle, donc h(x) = 0. Ceci est vérifié pour tout h de H, donc x est dans Z(H).

    Je viens de prouver (enfin j´espère...) que toute suite convergente de points de Z(H) a sa limite dans Z(H), donc que Z(H) est fermé, donc compact.

    Comme je n´ai pas trop l´habitude de démonstrations en topologie, je voudrais simplement savoir si ma démarche est correcte. Ceci dit, dans le corrigé, c´est beaucoup plus simple donc plus élégant:

    Puisque h est continue, l´image réciproque du fermé {0} est un fermé, donc compact dans le compact E, ceci pour toute h de H. Et Z(H) est l´intersection de tous ces fermés, donc un fermé, donc compact.

    merci d´avance

    christophe

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : histoire de compacts

    Bonjour christophe,

    Ta solution est parfaitement correcte, et exprime de façon concrète ce que le corrigé dit en termes conceptuels.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    christophe_de_Berlin

    Re : histoire de compacts

    merci bien, tu me rassures.

    christophe

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