Bonjour,
J´ai un exo de topo où j´ai déja le corrigé, mais moi j´ai résolu cet exo complètement différement, et j´aimerais savoir si ma démarche est correcte. Il s´agit de la chose suivante:
Soit E un espace métrique compact et H und famille d´applications continues h, de E -> IR
On pose Z(H) = {x de E / pour tout h on ait h(x) = 0}
Prouver que Z(H) est compact.
Je me propose de prouver que Z(H) est fermé. Cela suffit pour prouver la compacité, vu que E est compact.
Je dis donc: soit xn, une suite de points de Z(H) qui converge vers un point x de E. Pour toute fonctions h de H et tout n de IN, on a:
h(xn) = 0
Comme h est continue, la suite h(xn) converge vers h(x). Et comme tous les h(xn) sont nuls, cette limite ne peut être que nulle, donc h(x) = 0. Ceci est vérifié pour tout h de H, donc x est dans Z(H).
Je viens de prouver (enfin j´espère...) que toute suite convergente de points de Z(H) a sa limite dans Z(H), donc que Z(H) est fermé, donc compact.
Comme je n´ai pas trop l´habitude de démonstrations en topologie, je voudrais simplement savoir si ma démarche est correcte. Ceci dit, dans le corrigé, c´est beaucoup plus simple donc plus élégant:
Puisque h est continue, l´image réciproque du fermé {0} est un fermé, donc compact dans le compact E, ceci pour toute h de H. Et Z(H) est l´intersection de tous ces fermés, donc un fermé, donc compact.
merci d´avance
christophe
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