groupes de sylow

[invitee75a2d43]

Bonjour,

J´ai un exo où je n´arrive qu´à des résultats partiels, peut-être quelqu´un a-t-il un idée. Il s´agit de la chose suivante:

Soit G un groupe d´odre 2p, où p est premier impair.
Montrer que G est soit cyclique soit le groupe diédral D_p.

Pour commencer, j´ai appliqué le théorème de Sylow deux fois, c´est à dire:
l´ordre de G est 2p et 2 et p sont premier entre, donc, le nombre s de p-Sylows de G vérifie:
s divise 2, donc s = 1 ou s = 2

Donc s = 1

De même, le nombre t de 2-Sylows de G vérifie:

t divise p, donc t = 1 ou t = p
, cette condition étant superflue vu que t = 1 ou p, donc de toute façon impair.

J´ai donc deux possibilités:
1: G possède un sous-groupe d´ordre p et un sous-groupe d´ordre 2
2: G possède un sous-groupe d´ordre p et p sous-groupes d´ordre 2.

Je m´attaque à la possibilité 1

J´appelle S₂ le sous-groupe d´ordre 2 de G: S₂ = {1,a} avec a² = 1.
J´appelle S_p le sous-groupe d´ordre p de G. Comme p est premier, les (p-1) éléments non neutres de S_p sont générateurs de S_p.

Supposons maintenant que G soit cyclique, donc monogène. Alors G est abélien. D´autre part, un générateur de G est nécessairement le produit d´un élément de S₂ et d´un élément de S_p. Comme tout élément non neutre de S_p est générateur de S_p, on peut considérer sans perte de généralité que le produit ab est générateur de G.

ab est donc d´ordre 2p. On a alors: (ab)^p = a et (ab)^p+1 = b.

Pour les puissances k paires de ab, on obtient les p puissances de b, b⁰ à b^p-1. Pour les puissances impaires k de ab, on obtient le produit de a par les puissances de b, donc a = ab⁰ à ab^p-1. Donc en résumé, il est apparement possible de construire un tel groupe, cyclique.

Mon problème est le suivant:

D´une part ma solution me semble "rafistolée", en ce sens que je me demande s´il n´y a pas une explication un peu plus scientifique qui explique cela en 3 lignes.

Deuxièmement, j´imagine que le groupe diédral demandé dans l´énoncé correspond à ma deuxième solution:
G possède un sous-groupe d´ordre p et p sous-groupes d´ordre 2.
mais je n´arrive pas à résoudre le truc.

Donc si quelqu´un a une idée...

Merci d´avance

Christophe
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[invitebe0cd90e]

Alors oui à tout Rappelles toi les criteres suivants que tu connais surement :

Soit G un groupe, H un sous groupe distingué et K un sous groupe.

- si et , alors G est produit semi direct de H par K
- si en plus K est distingué, alors le produit est direct.

Ici Cp est evidemment distingué dans les deux cas, puisque il est l'unique p-Sylow et que ceux ci sont tous conjugués.

L'intersection est triviale pour des raisons evidentes d'ordre. je te laisse verifier le reste.

Reste a savoir quel produit semi direct. En fait, les resultats generaux que je te donne pouvait etre retrouvé a la main. Tu as un sous groupe d'ordre p, engendré par un element x.

Ensuite tu as des elements d'ordre 2, prends un, mettons y.

Puisque Cp est distingué, donc c'est une puissance de x, reste a voir ce que ca peut etre. Puisque y est d'ordre 2, appliquer deux fois cette conjugaison doit te faire retomber sur x. donc les deux seules possibilités sont:

-
-

Dans le premier cas le groupe est commutatif, donc tu retombes sur le cas C2 distingué, donc produit direct, donc le theoreme des restes chinois te dit que ce groupe est .

Dans le 2 cas, produit semi direct, et tu n'as donc qu'une seule structure possible. Suffit de verifier, maintenant que tu connais la loi du groupe, que c'est bien le groupe diedral, suivant ce que tu en connais. Mais il est facile de voir que x s'identifie a n'importe quelle rotation du polygone a p cotés, et y a n'importe quelle reflexion relative a l'une des diagonales.

[invitee75a2d43]

Merci Jobherz pour cette réponse, c´est ce dont j´avais besoin.

christophe