Nombre de 2-sylow dans un groupe d'ordre 20
Bonjour
un petit message avant la nouvelle année !
soit G un groupe d'ordre 20. je dois trouver combien il y a de 2 et de 5 sylow.
j'applique le théorème de sylow, ce qui me donne n5=1 ( il y a donc un seul 5 sylow ) et n2= 1 ou 5 ...
j'ai un peu regardé sur internet et la réponse se trouve être n2= 1.
Donc, par l'absurde, je suppose qu'il y a 5 2-sylow ... et c'est là que je bloque.
Merci par avance pour votre aide
Bonne année avec un peu d'avance
cordialement
Je ne sais pas ce que tu entends par "la" reponse, le fait est qu'il existe plusieurs groupes d'ordre 20 (il y en a 5 en l'occurence), et que sauf erreur de ma part certains d'entre eux ont 5 2-Sylow, alors que d'autres n'en ont qu'un.
Il arrive, effectivement, que le cardinal suffise a trouver le nombre de Sylow (par exemple pour les groupes d'ordre pq, p et q premiers, c'est un classiques). Il semblerait que ca ne soit pas le cas ici.
Rapelles toi par exemple que dans un groupes abeliens, tous les sylow sont unique puisque tous les sous groupes sont normaux. Or, pour tout n il existe un groupe abelien d'ordre n, par exemple Z/nZ. Donc tu sais qu'il existe au moins un groupe d'ordre 20 tel que n5=1.
Ensuite, reste a voir si c'est possible que n_5=5. En l'occurence ca l'est, mais j'avoue que je ne vois pas comment le montrer a part en exhibant un exemple. A vue de nez, n'importe quel groupe non commutatif d'ordre 20 va convenir, genre le groupe diedral. Ceci dit peut etre qu'on te demandait juste de trouve n5=1 ou 5
merci beaucoup ! c'est pour ça que je ne trouvais pas xD
bonne année
