Relation d'ordre dans C?

[invite980a875f]

Bonjour,
je me demandais si le corps de complexes était muni d'une relation d'ordre comme il en existe dans ? C'est-à-dire est-il possible de définir a, b, c, d tels que (a+ib)<(c+id)? Ou bien y a-t-il une autre relation d'ordre plus compliquée? Ou bien pas du tout? Je pose cette question car ce n'est pas du tout abordé dans le programme de TS.
Merci!
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[invitec7b3f097]

Je suis en TS en mon prof en a fait la preuve:

1 > -1

si i >= 0, alors i>= -i et en multipliant par i: i² >= -i², soit -1 >= 1
si i <=0, alors i<-i et en multipliant par i: i² > -i², soit -1 > 1.

Contradiction ...

[invite980a875f]

Merci Lord! Je me doutais un peu qu'il n'y en avait pas... Mais cependant, est-il possible de ranger les nombres "imaginaires purs" entre eux, avec une relation d'ordre plus compliquée peut-être que le "pluspetit ou plus grand que"?

[inviteca3a9be7]

Bonjour,


On *peut* munir C d'une relation d'ordre, par exemple (ordre lexicographique = ordre du dictionnaire) : a+ib <= x+iy <=> (a < x) ou (a=x et b<=y)

Ce qu'on ne peut pas faire c'est trouver une relation d'ordre qui étend celle courante sur IR.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51f4efbf]

Comme l'a dit µµtt, l'ordre lexicographique existe sur un produit cartésien d'ensembles ordonnés.

Concernant C, c'est même un peu plus vaste que l'inexistence d'une relation qui étend celle de R : il n'existe pas un sous-ensemble P de C tel que si et tel que si . La preuve suit le même genre de schéma que celui posté par Lord.

[invite980a875f]

Merci pour vos précisions.
Je me demandais si dans certains cas, cela pouvait être gênant de ne pas avoir de relation d'ordre, en analyse complexe ou je ne sais quoi...

[Quinto]

Non, mais en analyse complexe on ne se sert pas de ce genre de trucs. Pas a ma connaissance en tout cas...

C'est plus un concept abstrait qu'autre chose...