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Relation d'ordre sur le corps des complexes




  1. #1
    Mexem

    Relation d'ordre sur le corps des complexes

    Bonjour à tous, je voudrais connaitre plusieurs avis, parce que mon prof de variables complexes nous dit parfois en cours qu'il n'existe pas de "relation d'ordre pour les complexes". Désolé, mais çà provoque chez moi une certaine irritation (humour !!!). En effet, il n'est pas bien difficile de trouver une relation d'ordre sur C (comparaison de partie imaginaire). J'ai parlé vite fait avec un de mes anciens profs, et il m'a dit de corriger mon prof en disant: "il n'existe pas de relation d'ordre sur le corps des complexes compatible avec la structure de corps de C".
    Je me suis dit qu'il fallait partir du fait que tout carré est censé être positif, or i^2=-1 < 0... Ceci semble ne rien prouver. Si quelques personnes se sont déjà intéressé à ce sujet, répondez svp, je trouve que c'est assez intéressant.

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Quinto

    Re : Relation d'ordre sur le corps des complexes

    Salut,
    en effet, il existe une infinité de relation d'ordre sur C, mais aucune d'elle n'est compatible avec la structure de corps de C.

    En effet on peut partir du fait que tout carré est positif pour le montrer, mais il faut en dire plus que i²<0 quand même.

  4. #3
    invite76

    Re : Relation d'ordre sur le corps des complexes

    Bonjour
    C'est tout à fait exact.
    De manière plus "matérialiste", je ne sais pas ranger les complexes côte à côte de manière intéressante. Si je compare uniquement sur la partie imaginaire, par exemple, alors je range tous les réels dans la même boîte (par exemple). En restant matérialiste, je dirais que je ne vois pas d'intérêt à trouver une relation d'ordre dans un bidule intrinsèquement de dimension 2. Ce n'est évidemment qu'une opinion.
    Mon bureau, de dimension 2, est analogue au plan complexe, et prouve par l'expérience que tout ordre est impossible.
    Amicalement
    JM


  5. #4
    lu6fer

    Re : Relation d'ordre sur le corps des complexes

    C'est un sujet toujours préoccupant , car , je ne l' ai vu traité clairement nul part . Pour moi , l' impossibilité d'une relation d' ordre sur C , et non sur un ensemble de Réels issu de classes d' équivallences de C ( odre défini sur les modules , ordre double sur coordonnés cartésiens.... a<a' ET b<b' ) est impossible du fait des propriétés d la fonction Exponentielle , oujours positive . Donc pas de complexs négatifs ... ( je chechais à définir une fonction Log sur C )....... Mais alors , R- est inclu dans C , alors Log(R-) !!?? Mais z€ (R-) < (C) sous notation exponentielle , z € R- ,n'est jamais négatif . L' axe R- peut s' écrire : z=Z exp( i .Pi ), Z = module >0 . et Exp(z) >0 ...
    Le discution du signe de Exp (z) revient à discuter une relation d' ordre sur le cercle trigo : = impossible et pour le moins vicieux .
    Mais j' avoue chercher aussi le final mot sur cet histoire et aussi comment on peut définir la fonction Log sur C .
    Log z= Log(Z exp( i teta) ) = LogZ + i Teta .
    Log z=Log ( a +ib )= 1/2 Log(a²+b²) + i ArcTg (b/a) ....
    .à priori sans Pb , except def z <0 ! ...........etc
    Je n' ai pas trouvé ça dans le cours.
    Help
    Dernière modification par lu6fer ; 06/10/2009 à 12h48.

  6. #5
    Médiat

    Re : Relation d'ordre sur le corps des complexes

    Puisque ce fil remonte, j'en profite pour signaler une erreur :

    Citation Envoyé par Quinto
    en effet, il existe une infinité de relation d'ordre sur C, mais aucune d'elle n'est compatible avec la structure de corps de C.
    Si il en existe, par exemple

    est une relation d'ordre sur compatible avec sa structure de corps.

    Le bon théorème est : il n'existe pas de relation d'ordre totale compatible avec la structure de corps de .
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. A voir en vidéo sur Futura

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