Relation d'ordre sur le corps des complexes

[invite367c78ec]

Bonjour à tous, je voudrais connaitre plusieurs avis, parce que mon prof de variables complexes nous dit parfois en cours qu'il n'existe pas de "relation d'ordre pour les complexes". Désolé, mais çà provoque chez moi une certaine irritation (humour !!!). En effet, il n'est pas bien difficile de trouver une relation d'ordre sur C (comparaison de partie imaginaire). J'ai parlé vite fait avec un de mes anciens profs, et il m'a dit de corriger mon prof en disant: "il n'existe pas de relation d'ordre sur le corps des complexes compatible avec la structure de corps de C".
Je me suis dit qu'il fallait partir du fait que tout carré est censé être positif, or i^2=-1 < 0... Ceci semble ne rien prouver. Si quelques personnes se sont déjà intéressé à ce sujet, répondez svp, je trouve que c'est assez intéressant.
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[inviteab2b41c6]

Salut,
en effet, il existe une infinité de relation d'ordre sur C, mais aucune d'elle n'est compatible avec la structure de corps de C.

En effet on peut partir du fait que tout carré est positif pour le montrer, mais il faut en dire plus que i²<0 quand même.

[invite6d8e4836]

Bonjour
C'est tout à fait exact.
De manière plus "matérialiste", je ne sais pas ranger les complexes côte à côte de manière intéressante. Si je compare uniquement sur la partie imaginaire, par exemple, alors je range tous les réels dans la même boîte (par exemple). En restant matérialiste, je dirais que je ne vois pas d'intérêt à trouver une relation d'ordre dans un bidule intrinsèquement de dimension 2. Ce n'est évidemment qu'une opinion.
Mon bureau, de dimension 2, est analogue au plan complexe, et prouve par l'expérience que tout ordre est impossible.
Amicalement
JM

[invite1561d4bf]

C'est un sujet toujours préoccupant , car , je ne l' ai vu traité clairement nul part . Pour moi , l' impossibilité d'une relation d' ordre sur C , et non sur un ensemble de Réels issu de classes d' équivallences de C ( odre défini sur les modules , ordre double sur coordonnés cartésiens.... a<a' ET b<b' ) est impossible du fait des propriétés d la fonction Exponentielle , oujours positive . Donc pas de complexs négatifs ... ( je chechais à définir une fonction Log sur C )....... Mais alors , R- est inclu dans C , alors Log(R-) !!?? Mais z€ (R-) < (C) sous notation exponentielle , z € R- ,n'est jamais négatif . L' axe R- peut s' écrire : z=Z exp( i .Pi ), Z = module >0 . et Exp(z) >0 ...
Le discution du signe de Exp (z) revient à discuter une relation d' ordre sur le cercle trigo : = impossible et pour le moins vicieux .
Mais j' avoue chercher aussi le final mot sur cet histoire et aussi comment on peut définir la fonction Log sur C .
Log z= Log(Z exp( i teta) ) = LogZ + i Teta .
Log z=Log ( a +ib )= 1/2 Log(a²+b²) + i ArcTg (b/a) ....
.à priori sans Pb , except def z <0 ! ...........etc
Je n' ai pas trouvé ça dans le cours.
Help

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Puisque ce fil remonte, j'en profite pour signaler une erreur :

en effet, il existe une infinité de relation d'ordre sur C, mais aucune d'elle n'est compatible avec la structure de corps de C.

Si il en existe, par exemple

est une relation d'ordre sur compatible avec sa structure de corps.

Le bon théorème est : il n'existe pas de relation d'ordre totale compatible avec la structure de corps de .

[lpop]

En effet, la relation d ordre doit être compatible avec la distance, sinon elle est inutile ( les théorèmes d encadrement de suites ou de suites croissantes majoré ne marcheraient n'y plus)

Pour être compatible ( càd continue) elle doiit respecter la condition suivante:

Si a < b alors il existe epsilon tel que
|X - a | < epsilon => x < b

C est a dire que si a<b alors il existe une boule de centre a et de rayon epsilon ( au sens de la distance usuelle) ou tout ses éléments sont eux aussi inférieurs à b.
Il est démontrable qu un tel ordre n existe pas sur C.

[JPL]

Réponse à une discussion de 2005 !