Relation entre la forme trigonométrique et exponentielle des nombres complexes

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aurais aimé avoir une démonstration de la formule , parce que je n'ai rien trouvé sur le net.

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci d'avance
Phys2
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[Gwyddon]

Salut,

Fouille un peu du côté des parties paires et impaires de l'exponentielle dans son développement en série entière

[martini_bird]

Salut,

J'aurais aimé avoir une démonstration de la formule

c'est mieux.

Sinon, cos et sin sont définies comme partie paire et impaire de l'exponentielle complexe : difficile de ne pas faire quelque chose qui se mord la queue...

Cordialement.

[invité576543]

Bonjour à tous,

J'aurais aimé avoir une démonstration de la formule , parce que je n'ai rien trouvé sur le net.

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Il y a eu un fil sur ce sujet il y a quelques semaines. Cherche dans le forum.

Sinon, un premier effort de ta part est d'essayer de préciser ta question. On peut très bien définir cosinus et sinus à partir de cette formule, ce qui retire tout sens à en chercher une démonstation...

Cordialement,

EDIT: Croisement convergent avec martini_bird

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

On peut très bien faire une "démonstration" en partant de l'identification des parties paires et impaires de exp en développement en série avec le développement en série entière obtenu par une autre définition de cos et sin non ?

Un peu comme une démo proposé il y a peu par martini sur un thème avoisinant

[invité576543]

On peut très bien faire une "démonstration" en partant de l'identification des parties paires et impaires de exp en développement en série avec le développement en série entière obtenu par une autre définition de cos et sin non ?

Un peu comme une démo proposé il y a peu par martini sur un thème avoisinant

Tout à fait, mais cela demande bien un choix a priori et particulier des définitions de cosinus, sinus et exponentielle complexe, non? Pourquoi ce choix plutôt qu'un autre?

Cordialement,

[Gwyddon]

Je suis d'accord avec ton objection, c'est pourquoi j'ai mis le mot "démonstration" entre parenthèses. En fait, on montre la compatibilité des différentes définitions en faisant un tel travail, et rien de plus, puisque finalement comme le dit martini on se mord un peu la queue.

[invite35452583]

Tout à fait, mais cela demande bien un choix a priori et particulier des définitions de cosinus, sinus et exponentielle complexe, non? Pourquoi ce choix plutôt qu'un autre?

Cordialement,

Bonjour,
peut-être parce que chacune est l'unique extension aux complexes de l'application réelle dont elle porte le même nom ?

[invité576543]

Bonjour,
peut-être parce que chacune est l'unique extension aux complexes de l'application réelle dont elle porte le même nom ?

Pour une fois, je ne te suis pas. Tu utilises extension à un sens très particulier (1), parce qu'il y a une infinité d'extensions, au sens usuel, aux complexes d'une fonction réelle quelconque, non? me paraît une extension parfaitement sensée de l'exponentielle, non?

Cordialement,

(1) Que j'imagine très bien...

[invite35452583]

L'extension que j'entends est peut-être très particulière mais pour moi elle s'impose. Pourquoi?
Si on appelle cette fonction exponentielle complexe il faut qu'elle soit un morphisme de groupe.
exp comp(z+z')=exp comp(z)xexp comp(z')
exp comp(0)=1
(exp comp ne s'annule donc pas)
Comme R et C sont non seulemen,t définis par leur structure algébrique mais également topologique exp comp doit être continue (sinon appelons ces deux corps autrement )
Cette fonction surjecte chaque droite réelle (R n'en étant qu'un exemplaire) sur un sous-groupe de (C*,x) à un paramètre.
Deux tels sous-groupes se distinguent : R+* seul sous-monoîde pour l'addition, S1 seul sous-groupe compact.
Les projections donnent exp comp(z)=M(z)xU(z) M et U sont alors aussi des exponentielles. Le choix de M et de U dépendent de 4 paramètres réels.
quelles contraintes de plus pour un bon exp comp :
exp comp restreint à R est égal à l'exponentielle usuelle=>deux paramètres fixés.
exp comp ne peut rendre compte de toute la structure de C car n'agit que sur une seule opétration (+ sur la structure de départ x sur la structure d'arrivée).
La structure géométrique finit d'imposer les deux derniers paramètres. exp comp envoie les deux orthogonaux 1 et i sur des sous-groupes orthogonaux R+* et S1. Tout autre choix d'angle serait lui totalement arbitraire (c'est celui qui est le moins finalement)
Les imaginaires sont ainsi envoyés sur S1 et de telle manière que la [0;iy] soit envoyé sur un arc de longueur ky pour tout y. Le choix le moins arbitraire est de prendre k=1 (ce qui équivaut à une dérivée réelle en 0 égal à 1 comme exp réelle).
On a alors le choix effectué pour exp comp est finalement le moins arbitraire de tous et vérifie la formule de Moivre (en gardant la définition classique càd comme fonction réelle de cos et sin).

Maintenant, par les séries entières :
exp réel a une série qui converge pour tout complexe=>choisissons cette fonction complexe comme exp comp.(par "chance" elle coïncide avec la précédente)
Si on sépare partie paire et impaire de exp(ix) on obtient exp(ix)=f(x)+ig(x). On peut définir cos=f et sin=g. Et là ça se mort la queue.
Mais on doit aussi vérifier que f=cos "classique" (càd f"=-f f(0)=1 et f'(0)=0) et g=sin (équations qu'il faut ). et là il y a une vraie démo.

cette formule de Moivre ne relève pas de l'arbitraire pour moi sinon ce serait oublier qu'elle recèle un lien profond (que je ne maîtrise pas) entre e, pi et i

[invite41f033f3]

je que ce que cherche c'est plutôt exp(ix)=cos(x)+isin(x)