Algèbre : Exercice sur les affinités problématique !

[inviteebb4cd82]

Voilà une partie de l'énoncé de mon DM d'algèbre, on viens juste de commencer et on a pas encore vraiment fait de TD sur les espaces vectoriels. Je dois le rendre demain, et cela fait une semaine que je galère sans rien trouver. Si quelqu'un pouvait me donner un piste pour montrer cela :

1 - Soient E un K-espace vectoriel, f une application linéaire de E dans E. Id est l'dentité de E. On suppose qu'il existe lambda appartenant à K différent de 1 tel que
f²=(1+lambda)f-id
Montrer que f est une affinité de rapport lambda.

2 - Soit f l'endomorphisme de R^3 défini par f(x,y,z)=(-x-2y, -2x-y, 2x+2y+z). Démonter que f est une affinité, dont on précisera le rapport et les éléments géométriques.
Déterminer, f^n(x,y,z).

Merci d'avance, pour toute réponse.
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[KerLannais]

Salut,

la formule

me semble fausse, a priori la formule correcte c'est

ne serait-ce parce que s'il l'on peut montrer que est une affinité de rapport alors on peut trouver un vecteur non nul tel que et alors


Si c'est la première formule qui est dans ton énoncé tu peux le signaler à ton professeur.

[inviteebb4cd82]

Excusez-moi pour l'erreur dans la formule : c'est bien f²=(1+lambda)f-(lambda)id.
Merci pour la réponse, mais je n'arrive pas trop à comprendre la réponse, est-ce que vous pourriez me donner plus d'explications ?

[KerLannais]

La façon la plus expéditive de répondre à cette question, lorsqu'on est en deuxième année de prépa est de dire que admet un polynôme annulateur scindé à racines simples et que donc sont polynôme minimal est scindé à racine(s) simple(s). Ainsi est diagonalisable et ses valeurs propres sont racines du polynôme annulateur (c-à-d égales à ou puisque ) et c'est donc une affinité de rapport .

Sinon, lorsqu'on est en première année de prépa on peut dire que


ainsi pour tout


et puisque

on a donc

et donc

De plus, (1) nous dit que la somme est directe

On a donc bien décomposé l'espace en deux espaces supplémentaire
et et pour
c-à-d
pour
c-à-d
Ainsi est bien une affinité de rapport . La réciproque est vraie (cf ce que j'ai dit dans mon message précédent).

2-




de sorte que


on a donc le rapport de l'affinité il reste plus qu'à déterminer et . C'est à dire résoudre

qui donne
et

qui donne

[A voir en vidéo sur Futura]

[pa44pa28]

Tu es démasquée Laurence P.

[inviteebb4cd82]

Merci beaucoup pour cette aide précieuse !

[pa44pa28]

Germain, si tu passes par là ...