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Algèbre : Exercice sur les affinités problématique !



  1. #1
    Loranss

    Exclamation Algèbre : Exercice sur les affinités problématique !


    ------

    Voilà une partie de l'énoncé de mon DM d'algèbre, on viens juste de commencer et on a pas encore vraiment fait de TD sur les espaces vectoriels. Je dois le rendre demain, et cela fait une semaine que je galère sans rien trouver. Si quelqu'un pouvait me donner un piste pour montrer cela :

    1 - Soient E un K-espace vectoriel, f une application linéaire de E dans E. Id est l'dentité de E. On suppose qu'il existe lambda appartenant à K différent de 1 tel que
    f²=(1+lambda)f-id
    Montrer que f est une affinité de rapport lambda.

    2 - Soit f l'endomorphisme de R^3 défini par f(x,y,z)=(-x-2y, -2x-y, 2x+2y+z). Démonter que f est une affinité, dont on précisera le rapport et les éléments géométriques.
    Déterminer, f^n(x,y,z).

    Merci d'avance, pour toute réponse.

    -----

  2. #2
    KerLannais

    Re : Algèbre : Exercice sur les affinités problématique !

    Salut,

    la formule

    me semble fausse, a priori la formule correcte c'est

    ne serait-ce parce que s'il l'on peut montrer que est une affinité de rapport alors on peut trouver un vecteur non nul tel que et alors


    Si c'est la première formule qui est dans ton énoncé tu peux le signaler à ton professeur.
    Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.

  3. #3
    Loranss

    Re : Algèbre : Exercice sur les affinités problématique !

    Excusez-moi pour l'erreur dans la formule : c'est bien f²=(1+lambda)f-(lambda)id.
    Merci pour la réponse, mais je n'arrive pas trop à comprendre la réponse, est-ce que vous pourriez me donner plus d'explications ?

  4. #4
    KerLannais

    Re : Algèbre : Exercice sur les affinités problématique !

    La façon la plus expéditive de répondre à cette question, lorsqu'on est en deuxième année de prépa est de dire que admet un polynôme annulateur scindé à racines simples et que donc sont polynôme minimal est scindé à racine(s) simple(s). Ainsi est diagonalisable et ses valeurs propres sont racines du polynôme annulateur (c-à-d égales à ou puisque ) et c'est donc une affinité de rapport .

    Sinon, lorsqu'on est en première année de prépa on peut dire que


    ainsi pour tout


    et puisque

    on a donc

    et donc

    De plus, (1) nous dit que la somme est directe

    On a donc bien décomposé l'espace en deux espaces supplémentaire
    et et pour
    c-à-d
    pour
    c-à-d
    Ainsi est bien une affinité de rapport . La réciproque est vraie (cf ce que j'ai dit dans mon message précédent).

    2-




    de sorte que


    on a donc le rapport de l'affinité il reste plus qu'à déterminer et . C'est à dire résoudre

    qui donne
    et

    qui donne



    Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    pa44pa28

    Re : Algèbre : Exercice sur les affinités problématique !

    Tu es démasquée Laurence P.
    Dernière modification par pa44pa28 ; 05/03/2010 à 12h17.

  7. #6
    Loranss

    Re : Algèbre : Exercice sur les affinités problématique !

    Merci beaucoup pour cette aide précieuse !

  8. #7
    pa44pa28

    Re : Algèbre : Exercice sur les affinités problématique !

    Germain, si tu passes par là ...

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