théorie des jeux, exercice

[invite5172dd3a]

Bonjour,
je me trouve devant un problème que je n'arrive pas à résoudre, je ne trouve vraiment pas comment m'y prendre et sur quelles lois me baser pour arriver à le résoudre, quelqu'un pourrait-il m'aider?

On a trois personnes qui ont chacun deux balles pour tirer sur leur adversaire.
A tire en premier et a une probabilité de 2/3 de tuer un des deux autres.
B tire en deuxième et a une proba de 3/4 de tuer un des deux autres
C tire en dernier et a une proba de 1 de tuer un des deux autres.
Ensuite, on recommence dans le meme ordre pour la deuxieme balle.
En sachant que ceux qui sont tués ne jouent plus et que s'il en reste plus que un au bout des 2 balles, ils sont tous tuer, je dois trouver la probabilité de victoire de chacun, ainsi que la stratégie maximale pour chacun des 3...

Merci beaucoup!
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[Tryss]

Ont ils le droit de tirer en l'air?

Sinon faire un arbre des décisions c'est pas mal

Avec la stratégie optimale pour chaque joueur, et les joueurs connaissant la stratégie optimale de leurs adversaires je trouve :

A gagne avec grosso-modo 33% de chance
B gagne avec grosso-modo 60% de chance
C gagne avec 3% de chance
Personne ne gagne avec 3% de chance

Tu peux commencer simple en étudiant le cas ou A et B ont ratés leurs tirs (donc le moment ou C choisi sur qui tirer)

[invite5172dd3a]

Merci de m'aider, je commencais à desespérer...
J'ai essayé de faire une arbre de décision mais je n'arrive pas à savoir ce que je dois mettre a chaque bras de l'arbre. Par exemple, On part de A, il a 3 possbilités : rater son tire, tuer B, tuer C, et puis je ne vois pas de quelle possibilité partir...

Et pour calculer les proba, tu utilises quoi comme formules?

Merci beaucoup pour ton aide en tout cas!

[Tryss]

En fait tu pars de A, il a deux choix : essayer de tuer B ou C

Si il cherche a tuer B, deux possibilités :
- il a 2/3 de chance de le tuer, ensuite C tire et tue A.
- il a 1/3 de chance de ne pas le tuer

Si il cherche a tuer C, deux possibilités :
- il a 1/3 de chance de ne pas le tuer
- il a 2/3 de chance de le tuer, ensuite B va tirer sur A, puis si A encore vivant il va tirer sur B, puis si B encore vivant il va tirer sur A, et si A encore vivant, ils meurent tout les deux

Si c'est a B de tirer, et que les 3 joueurs sont encore en vie, il a deux choix... a toi de jouer

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Ecris tous les scenarios.
Exemple de scénario : A rate tout (proba 1/3) et au coup suivant (B tire), proba 3/8 de tuer A, au 3ème coup : une seule possibilité : C tue B (proba 1)
Dans cet enchaînement, la proba que C reste seul est 1/3 * 3/8 = 1/8
Mais il faut essayer toutes les autres.
Bien entendu, les morts ne tirent pas.

[invite5172dd3a]

Mais il y a énormément de scénarios vu que cela se fait en 2 tours... Non?

[Tryss]

Pas tant que ça puisque lorsqu'il n'y a plus que 2 joueurs les stratégies sont limités (il faut tuer son adversaire)

[invite5172dd3a]

J'essaye toujours..
Pour C vivant, je trouve 4 combinaisons différentes mais j'arrive à 50,04 % de chances qu'il gagne...
Il faut quand meme bien additionner les valeurs de chaque combinaison?

[Tryss]

Si C est vivant a la fin du premier tour et que c'est a lui de tirer:
- si il reste un seul adversaire (A a tué B ou B a tué A) C gagne a tout les coups (du coup cette situation est peu intéressante pour A ou B)
- si A et B sont vivant alors C tue A ou B. ensuite le survivant essayera de tuer C, puis si il rate, se ferra tué par C.

Dans le premier cas, C a 100% de chance de gagner, dans le second cas, C a 25 ou 33% de chance de gagner.

La première situation est engendrée par :
* A tire sur B et le tue
* A tire sur B et le rate, puis B tire sur A et le tue
* A tire sur C et le rate, puis B tire sur A et le tue

La seconde situation est engendrée par :
* A tire sur B et le rate, B tire sur A et le rate
* A tire sur B et le rate, B tire sur C et le rate
* A tire sur C et le rate, B tire sur A et le rate
* A tire sur C et le rate, B tire sur C et le rate

Dans toutes les autres situations C est mort.

On voit donc bien qu'être seul face a C est une mauvaise stratégie pour A ou B. Donc si A et B jouent rationnellement, cette situation ne va pas se produire. Par contre si A et B jouent "au hasard", elle se produit dans 45.5% des cas

[invite5172dd3a]

je n'arrive toujours pas à trouver les bonnes réponses...
Pourtant je suis quasi sure de l'arbre que j'ai fait et j'ai refait plusieurs fois mes calculs...

[ansset]

bonjour,
j'ai l'impression que Tryss choisi à l'avance la meilleure stratégie.

si on raisonne sur l'ensemble de l'arbre.
c'est à dire qu'ils sont idiots les 3 gars, et qu'ils n'ont aucune stratégie.

j'appelle (A,B,C) la proposition A vivant, B vivant et C vivant:
(A,B) la prop A vivant et B vivant.

après le tir 1 de A:
p(A,B,C)=1/3 ( tir raté )
p(A,B)=2/6 ( tir reussi sur C )
p(A,C)=2/6

après le tir 1 de B c'est le plus complexe, après ça se decante )
p(A,B,C)->p(A,B,C)= 1/3 * 1/4 = 2/24
P(A,B,C)->p(B,C)=1/3 * 3/8 = 3/24
p(A,B,C)->p(A,B)=1/3 * 3/8 = 3/24
p(A,B)->p(A,B)=2/6 * 1/4 = 2/24
p(A,B)->p(B)=2/6 *3/4 = 6/24
p(A,C)->p(A,C) = 2/6 = 8/24 ( B était mort )
( la somme fait bien 1 )
on regroupe p(A,B) = 5/24

après le tir 1 de C: ( C est un tueur, alors ça se simplifie )
p(B)->p(B) =6/24 inchangé car C déjà mort
p(A,B)->p(A,B) = 5/24 idem

p(A,B,C)->p(A,C)=2/24 * 1/2
p(A,B,C)->p(B,C)=2/24 * 1/2

p(A,C)->p(C)=8/24
p(B,C)->p(C)=3/24

la somme vaut toujours 1 mais on y voit plus clair.
après 1 tir chacun on a :
p(C) = 11/24
p(B) = 6/24
p(A,B)=5/24
p(A,C)=1/24
p(B,C)=1/24

ensuite à A de retirer mais cela n'influe plus que s'il est encore present.
p(A,B)->p(A,B)=5/24 * 1/3
p(A,B)->p(A)=5/24 * 2/3
p(A,C)->p(A,C)=1/24 * 1/3
p(A,C)->p(A)=1/24 * 2/3

reste donc :
p(A) = 6/24 * 2/3 = 4/24
p(B) = 6/24
p(C) = 11/24
p(A,B) = 5/24 * 1/3
p(A,C) = 1/24 * 1/3
p(B,C) = 1/24

2 ème tir de B :
p(A,B)->p(B) = 5/24*1/3*3/4
p(A,B)->p(A,B) = 5/24*1/3*1/4
p(B,C)->p(B)=1/24 * 3/4
p(B,C)->p(B,C)=1/24 * 1/4

résumé avant dernier tir :
p(A) = 6/24 * 2/3 = 4/24
p(B) = 6/24 + 5/24*1/3*3/4 + 1/24 * 3/4 = 8/24
p(C) = 11/24
p(A,B) = 5/(24*12)
p(A,C)=1/24 *1/3
p(B,C)=1/24 * 1/4

j'y arrive, je suis un vrai bourin mais j'y suis.
dernière balle qui ne change que
P(A,C) ->P(C) =1/24*1/3
P(B,C) ->P(C)=1/24*1/4

in finé :
P(A) = 4/24 = 1/6
P(B) = 8/24 = 1/3
P(C) = (1/24)*(1/3+1/4) +11/24 ( d'avant ) = 1/2 - 5/(24*12)
et P(A,B) = 5/(24*12 ) ( personne ne gagne vu l'énoncé)

a part le cas (A,B ) qui vaut 1,7 % , on retrouve des chiffres ronds.
alors il doit y avoir plus court....
mais je me suis amusé à faire le graphe.

[leg]

donc ils ne savent pas tirer...

[ansset]

j'ai plus simple. ouf !

j'appelle AR : A rate son tir ( 1/3 )
ATB : A tue B ( 1/3) si à 3 sinon 2/3
ATC : A tue C ( 1/3) si à 3 sinon 2/3

idem BR=1/4 , BTA = BTC = 3/8 ou 3/4 si à 2 joueurs.

je cherche A gagnant.
si A tue B, A est mort ( tir gagnant de C à venir )

par déduction :
A gagnant =>
ATC et BR et ATB
ou AR et BR et CTB et ATC
ou AR et BTC et ATB

ça tombe tout de suite : 1/6 , comme avec mon raisonnement balourd ...d'avant.

même raisonnement pour B:
B gagnant =>
AR et BTC et AR et BTA
ou AR et BR et CTA et BTC
ou ATC et BTA
ou ATC et BR et AR et BTA

je retombe sur 1/3 aussi.

[Tryss]

Oui, les probabilités que j'ai calculé sont celles des stratégies optimales.

Sinon chaque stratégie a ses propres probabilités, mais une fois l'arbre crée, il suffit de le descendre pour trouver les probabilités de chaque stratégie. Par exemple la stratégie suivante (avec si le tir de la stratégie est impossible, on tire sur l'autre) :
(A -> B, B-> A, C-> A, A->C, B->A, C-> B)

Donne :
2/3+1/4+1/48 = 93.75% de victoire pour C
1/16 = 6.25% de victoire pour B

Parce qu'a priori les joueurs n'ont pas de raison de tirer au hasard

[ansset]

Oui, les probabilités que j'ai calculé sont celles des stratégies optimales.

Sinon chaque stratégie a ses propres probabilités, mais une fois l'arbre crée, il suffit de le descendre pour trouver les probabilités de chaque stratégie. Par exemple la stratégie suivante (avec si le tir de la stratégie est impossible, on tire sur l'autre) :
(A -> B, B-> A, C-> A, A->C, B->A, C-> B)

Donne :
2/3+1/4+1/48 = 93.75% de victoire pour C
1/16 = 6.25% de victoire pour B
Parce qu'a priori les joueurs n'ont pas de raison de tirer au hasard

je ne comprend rien à ça !
c'est tout faux !
mais si tu relis l'exercice, au depart on demande les probabilité sans recherche de stratégie.
donc même si c'est idiot, A à au depart pour la 1) ère partie du problème autant de chance de tirer sur B que sur C.

le cas de la stratégie optimale est beaucoup simple.
tout le monde contre C, et B ressort gagnant largement.

je garde ma formule T pour tue et R pour rate.
supposons ( A et B malins bjectif C ) et ( objectif C tuer B avant A)

A gagnant =
ATC et BR et ATB
ou AR et BTC et ATB
ou AR et BR et CTB et ATC

soit là je prend 2/3 pour ATC dès le debut, car il cherche C )
2/3*1/4*2/3 + 1/3*3/4*2/3 + 1/3*1/4*1*2/3

= 1/3 ( A a doublé ses chances par rapport à une non stratégie )