Bonjour,
je suis en train d'étudier le log complexe et je n'ai pas compris grand chose.
dans un exercice on me demande sur quel ouvert U de C la fonction f(z)=log(z²+1)-log(z+i)-log(z-i) est définie. (avec log la det principale du log complexe)
Je ne vois pas comment démarrer....
Bonjour,
usuellement, le logarithme complexe est défini sur C privé de la demi droite des réels négatifs. Applique à chaque composante en log ^^
En fait, c'était pas vraiment ça ma question (mais j'ai oublié de taper la suite, c'est la fatigue du WE)
Je pense que f est définie sur U privé de R- et {+/- i}. mais on me demande la valeur de f sur chaque composante connexe de U en considérant les points z=te3ipi/4 et w=te-3ipi/4
et c'est là que je bloque, déjà les différentes composantes connexes de U c'est quoi? U\{i} et U\{-i}?
Une fois définie la coupure du log complexe, plus de problème (mais pourquoi exclureEnvoyé par heloiise
En fait, c'était pas vraiment ça ma question (mais j'ai oublié de taper la suite, c'est la fatigue du WE
Je pense que f est définie sur U privé de R- et {+/- i}. mais on me demande la valeur de f sur chaque composante connexe de U en considérant les points z=te3ipi/4 et w=te-3ipi/4
et c'est là que je bloque, déjà les différentes composantes connexes de U c'est quoi? U\{i} et U\{-i}?si la coupure choisie est
Ceci fait, avec
L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)
Il est dit que log est la détermination principale du log complexe, donc la détermination qui est définie sur C coupé de la demie-droite (x<=0, y=0).
Pour trouver le domaine de définition de log(f(z)), il faut trouver les lieux des z tels que f(z) ne soit pas sur la demie-droite de coupure.
Donc log(z+i) est défini pour tout complexe sauf la demi-droite translatée (x<=0, y=–1).
Et log(z–i) est défini pour tout complexe sauf la demi-droite translatée (x<=0, y=1).
De même, pour log(z2+1), il faut trouver les valeurs de z telles que z2+1 ne soit pas sur cette fameuse demie-droite de coupure. Donc la coupure est telle que z2 = –a, a réel >=1. Donc z=±ia, a réel >=1.
Les coupures obtenues se rejoignent par couples en +i et en –i.
Bref, on a trois domaines ; un quadrant nord-ouest translaté de +i, un quadrant sud-ouest translaté de –i, et le complément des deux.
