Caractère cyclique de (Z/nZ,+)

invite6a155a96 · 13/03/2010, 13h55

Bonjour,
Il y a un petit détail qui me chagrine dans un cours d'algèbre. En gros voici ce que ça dit :

Proposition : Le groupe $\text{[math]}$ est un groupe cyclique, engendré par la classe d'équivalence $\text{[math]}$ .

Preuve : Pour tout $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$
...d'après la définition de l'addition de $\text{[math]}$ . La classe d'équivalence $\text{[math]}$ engendre donc le groupe additif $\text{[math]}$ .

Voilà, en fait, je comprends la preuve, elle est élémentaire, mais pourquoi peut-on prendre n'importe quel $\text{[math]}$ ? Ne devrait-on pas plutôt commencer la preuve par "pour tout $\text{[math]}$ " ?
Parce que sinon je peux prendre $\text{[math]}$ , mais $\text{[math]}$ a-t-il du sens (parce qu'a priori $\text{[math]}$ ) ? Ou est-ce qu'en fait on a le droit d'écrire $\text{[math]}$ ?

Cordialement,

IC

**Flyingsquirrel** · 14/03/2010, 14h41

Salut,

Envoyé par IanCurtis89

Ou est-ce qu'en fait on a le droit d'écrire $\text{[math]}$ ?

Exactement.

Dans $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ est l'ensemble des entiers congrus à $\text{[math]}$ modulo $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ est bien défini pour tout entier $\text{[math]}$ , pas seulement pour $\text{[math]}$ .

Par contre, dans la démonstration que tu donnes, on aurait pu, même si ça n'apporte rien, se limiter à $\text{[math]}$ .

invite6a155a96 · 14/03/2010, 16h11

Ok merci beaucoup pour votre réponse!

Caractère cyclique de (Z/nZ,+)

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