développement en série entière

[loic7]

Bonjour je viens de commencer le chapitre sur les séries entières. Je m'exerce sur des exercices mais je bloque.


1- Développer en série entière 1/(t^3-3t+2)

Je voulais le décomposer en élement simple en trouvant 1 comme racine évidente mais je bloque.

2- Développer en série entière arctan (1+t)

On connais les développements usuels de arctan t
On dérive donc cette expression, on obtient
1/(1+(1+t)²)=1/(t²+2t+2) les solutions sont complexes comment faire alors?

Merci de votre aide
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[God's Breath]

Bonjour

1- À partir la racine évidente 1, on obtient et la décomposition en élements simples est facile à obtenir, d'où le développement en série entière.

2- Il faut commencer par développer la dérivée de .

[loic7]

Merci mais j'ai plein de petites questions qui font que je n'avance pas

(t^3-3t+2)=(t-1)²(t+2)

1/(t^3-3t+2)= A/(t-1)² + B/(t-1) + C/(t+2)

Après calcul on trouve : A=1/3 ; B=-1/9 ; C=1/9

1/(t^3-3t+2)= 1/3(t-1)² - 1/9(t-1) + 1/9(t+2)

-Alors ici je demande le Dev. de 1/3(t-1)² :

1/3*(1/(t-1)*1/(t-1))= 1/3* (Somme (0;inf) t^n) (Somme (0;inf) t^n)

-1/9* 1/(t-1) = -1/9* (Somme (0;inf) t^n)

1/9*1/(t+2)=1/9*1/(2(t/2+1)) = 1/18 * Somme(o;inf) (-1)^n (t/2)^n)

Je ne vois pas comment tous recomposer

[phadeb]

Salut,

Voici un des développements possibles :

Je vais utiliser "variable" 1, 2 et 3 à la place du traditionnel "theta"


C'est parti !:
Factorisation du dénominateur en termes linéaires et irréductible du second degré:
(t-1) ^ 2 (t +2)
Ensuite, le développement en fraction partielle est de la forme:
1 / ((-1 + t) ^ 2 (2 + t)) = variable_1 / (T-1) + variable_2 / (T-1) ^ 2 + variable_3 / (t +2)
Multiplier les deux membres par (t-1) ^ 2 (t +2) et simplifier:
1 = (t ^ 2 + t-2) variable_1 + (t-1) ^ 2 variable_3 + (t +2) variable_2
Développer et collecter en termes de pouvoirs de t:
1 = t ^ 2 (variable_1 + variable_3) + T (variable_1 + variable_2-2 variable_3) -2 variable_1 2 variable_2 + variable_3
Balancer les coefficients des deux côtés, ce qui donne 3 équations à 3 inconnues:
1 = -2 variable_1 2 variable_2 + variable_3
0 = variable_1 + variable_2-2 variable_3
0 = variable_1 + variable_3
Exprimer le système sous forme matricielle (c'est plus facile pour moi ^^):
(-2 | 2 | 1
1 | 1 | -2
1 | 0 | 1) (variable_1
variable_2
variable_3) = (1
0
0)
Écrire le système sous forme de matrice augmentée (élimination de gauss):
(-2 | 2 | 1 | 1
1 | 1 | -2 | 0
1 | 0 | 1 | 0)
Ajouter 1 / 2 ligne 1 à la ligne 2:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 2 | -3 / 2 | 1 / 2
1 | 0 | 1 | 0)
Multipliez la ligne 2 par 2:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
1 | 0 | 1 | 0)
Ajouter 1 / 2 ligne 1 à la ligne 3:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
0 | 1 | 3 / 2 | 1 / 2)
Multipliez la ligne 3 par 2:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
0 | 2 | 3 | 1)
Soustraire 1 / 2 colonne 2 à partir de la ligne 3:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
0 | 0 | 9 / 2 | 1 / 2)
Multipliez la ligne 3 par 2:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
0 | 0 | 9 | 1)
Maintenant, la substitution:
Divisez la ligne 3 par 9:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
Ajouter 3 ligne 3 à la ligne 2:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | 0 | 4 / 3
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
Divisez la ligne 2 par 4:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 1 | 0 | 1 / 3
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
Soustraire 2 Colonne 2 à partir de la ligne 1:
(-2 | 0 | 1 | 1 / 3
0 | 1 | 0 | 1 / 3
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
Soustraire la ligne 3 à partir de la ligne 1:
(-2 | 0 | 0 | 2 / 9
0 | 1 | 0 | 1 / 3
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
Divisez la ligne 1 par -2:
(1 | 0 | 0 | -1 / 9
0 | 1 | 0 | 1 / 3
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
La on peut lire les solutions ^^:
variable_1 = -1 / 9
variable_2 = 1 / 3
variable_3 = 1 / 9
Par conséquent:
1 / (t ^ 3-3 t +2) = 1 / (9 (t +2)) -1 / (9 (T-1)) +1 / (3 (T-1) ^ 2)


Edit pour ce qui est du développement de l'arctan, effectivement il est assez balèze, mais je pense qu'une des pistes possibles serait de commencer à développer en t=0 pour être sûr d'avoir les bons coefficients.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Alors ici je demande le Dev. de 1/3(t-1)²

Il me semble que s'obtient très facilement par dérivation de .

[God's Breath]

1/(1+(1+t)²)=1/(t²+2t+2) les solutions sont complexes comment faire alors?

On peut bien faire une décomposition en éléments simples sur le corps des nombres complexes, je ne vois pas où est le problème.