Bonjour je viens de commencer le chapitre sur les séries entières. Je m'exerce sur des exercices mais je bloque.
1- Développer en série entière 1/(t^3-3t+2)
Je voulais le décomposer en élement simple en trouvant 1 comme racine évidente mais je bloque.
2- Développer en série entière arctan (1+t)
On connais les développements usuels de arctan t
On dérive donc cette expression, on obtient
1/(1+(1+t)²)=1/(t²+2t+2) les solutions sont complexes comment faire alors?
Merci de votre aide
Bonjour
1- À partir la racine évidente 1, on obtientet la décomposition en élements simples est facile à obtenir, d'où le développement en série entière.
2- Il faut commencer par développer la dérivée de
Merci mais j'ai plein de petites questions qui font que je n'avance pas
(t^3-3t+2)=(t-1)²(t+2)
1/(t^3-3t+2)= A/(t-1)² + B/(t-1) + C/(t+2)
Après calcul on trouve : A=1/3 ; B=-1/9 ; C=1/9
1/(t^3-3t+2)= 1/3(t-1)² - 1/9(t-1) + 1/9(t+2)
-Alors ici je demande le Dev. de 1/3(t-1)² :
1/3*(1/(t-1)*1/(t-1))= 1/3* (Somme (0;inf) t^n) (Somme (0;inf) t^n)
-1/9* 1/(t-1) = -1/9* (Somme (0;inf) t^n)
1/9*1/(t+2)=1/9*1/(2(t/2+1)) = 1/18 * Somme(o;inf) (-1)^n (t/2)^n)
Je ne vois pas comment tous recomposer
Salut,
Voici un des développements possibles :
Je vais utiliser "variable" 1, 2 et 3 à la place du traditionnel "theta"
C'est parti !:
Factorisation du dénominateur en termes linéaires et irréductible du second degré:
(t-1) ^ 2 (t +2)
Ensuite, le développement en fraction partielle est de la forme:
1 / ((-1 + t) ^ 2 (2 + t)) = variable_1 / (T-1) + variable_2 / (T-1) ^ 2 + variable_3 / (t +2)
Multiplier les deux membres par (t-1) ^ 2 (t +2) et simplifier:
1 = (t ^ 2 + t-2) variable_1 + (t-1) ^ 2 variable_3 + (t +2) variable_2
Développer et collecter en termes de pouvoirs de t:
1 = t ^ 2 (variable_1 + variable_3) + T (variable_1 + variable_2-2 variable_3) -2 variable_1 2 variable_2 + variable_3
Balancer les coefficients des deux côtés, ce qui donne 3 équations à 3 inconnues:
1 = -2 variable_1 2 variable_2 + variable_3
0 = variable_1 + variable_2-2 variable_3
0 = variable_1 + variable_3
Exprimer le système sous forme matricielle (c'est plus facile pour moi ^^):
(-2 | 2 | 1
1 | 1 | -2
1 | 0 | 1) (variable_1
variable_2
variable_3) = (1
0
0)
Écrire le système sous forme de matrice augmentée (élimination de gauss):
(-2 | 2 | 1 | 1
1 | 1 | -2 | 0
1 | 0 | 1 | 0)
Ajouter 1 / 2 ligne 1 à la ligne 2:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 2 | -3 / 2 | 1 / 2
1 | 0 | 1 | 0)
Multipliez la ligne 2 par 2:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
1 | 0 | 1 | 0)
Ajouter 1 / 2 ligne 1 à la ligne 3:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
0 | 1 | 3 / 2 | 1 / 2)
Multipliez la ligne 3 par 2:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
0 | 2 | 3 | 1)
Soustraire 1 / 2 colonne 2 à partir de la ligne 3:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
0 | 0 | 9 / 2 | 1 / 2)
Multipliez la ligne 3 par 2:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
0 | 0 | 9 | 1)
Maintenant, la substitution:
Divisez la ligne 3 par 9:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | -3 | 1
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
Ajouter 3 ligne 3 à la ligne 2:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 4 | 0 | 4 / 3
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
Divisez la ligne 2 par 4:
(-2 | 2 | 1 | 1
0 | 1 | 0 | 1 / 3
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
Soustraire 2 Colonne 2 à partir de la ligne 1:
(-2 | 0 | 1 | 1 / 3
0 | 1 | 0 | 1 / 3
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
Soustraire la ligne 3 à partir de la ligne 1:
(-2 | 0 | 0 | 2 / 9
0 | 1 | 0 | 1 / 3
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
Divisez la ligne 1 par -2:
(1 | 0 | 0 | -1 / 9
0 | 1 | 0 | 1 / 3
0 | 0 | 1 | 1 / 9)
La on peut lire les solutions ^^:
variable_1 = -1 / 9
variable_2 = 1 / 3
variable_3 = 1 / 9
Par conséquent:
1 / (t ^ 3-3 t +2) = 1 / (9 (t +2)) -1 / (9 (T-1)) +1 / (3 (T-1) ^ 2)
Edit pour ce qui est du développement de l'arctan, effectivement il est assez balèze, mais je pense qu'une des pistes possibles serait de commencer à développer en t=0 pour être sûr d'avoir les bons coefficients.
Il me semble queEnvoyé par loic7
On peut bien faire une décomposition en éléments simples sur le corps des nombres complexes, je ne vois pas où est le problème.
