Polynôme pour vous détendre

[MMu]

Trouver tous les polynômes , tels que toutes les racines sont réelles et .. See you

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[Médiat]

Trouver tous les polynômes , tels que toutes les racines sont réelles et .. See you

Sauf erreur de calcul ...

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Il n'en existe pas

[MMu]

Tu te trompes , il en existe . Qui veut une piste ? ..

[Jeanpaul]

J'avais bien une idée : si un polynôme du 9ème degré a 9 racines, la dérivée doit avoir 8 zéros (théorème de Rolle) et ainsi de suite pour les dérivées suivantes.
Donc la dérivée 7ème doit avoir 2 zéros, ce qui est le cas, sinon on aurait pu conclure à l'impossibilité.
Problème : la réciproque est fausse, un polynôme de degré 2 peut avoir 2 zéros et sa primitive n'en avoir qu'un.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Donc la dérivée 7ème doit avoir 2 zéros, ce qui est le cas, sinon on aurait pu conclure à l'impossibilité.

Justement, j'ai trouvé 5040(4x² - 4x + 1) (pour le polynome divisé par (x+2)), mais j'ai dû me tromper dans un calcul ...

[God's Breath]

Bonjour,

La solution unique est

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Les solutions sont les polynômes de la forme , avec toutes les racines de réelles.

Comme l'a fait remarquer Jeanpaul : si c'est le cas, il en est alors de même pour toutes les dérivées successives de .

On a facilement qui a toutes ses racines réelles.

En remontant, il existe tel que qui ne peut avoir trois racines réelles qu'en cas de racine triple, c'est-à-dire si .

En recommençant, on obtient successivement , , ... .

[Jeanpaul]

Je ne vois pas le coup du c=0 car on peut avoir une racine triple (2 x -1) = la racine cubique de -c/840.

[God's Breath]

Pour , l'équation admet, dans , racines simples qui s'expriment à l'aide des racines -ièmes de l'unité : il y aura une ou deux racines réelles suivant la parité de .
Le seul cas où il y ait racines réelles est celui de l'équation , avec une seule racine réelle, mais d'ordre de multiplicité .

[MMu]

Juste pour le fun , voici une méthode différente utilisant l'inusable Cauchy-Schwartz .
Soient les racines du polynôme . On obtient facilement :

Les étant réels , il faut donc (cf. Cauchy-Schwartz) , d'où

[MMu]

J

Damned , erreur d'écriture . Je corrige :

[Jeanpaul]

Pour , l'équation admet, dans , racines simples qui s'expriment à l'aide des racines -ièmes de l'unité : il y aura une ou deux racines réelles suivant la parité de .
Le seul cas où il y ait racines réelles est celui de l'équation , avec une seule racine réelle, mais d'ordre de multiplicité .

Effectivement, ça ouvre la porte aux racines complexes. Merci.