3 problèmes pour se détendre

[invite5a378f84]

bonjour, je vous propose 3 petits problèmes amusants:

prouver que dans tout ensemble de 13 réels, il en existe 2 x et y tels que 0<(x-y)1+xy)<2-(racine de 3). < est "inférieur ou égal"

prouver que si on place 11000 points dans un cube de rayon 15, il existe une sphère de rayon 1 comprenant minimum 6 points.

Pour tous 10 réels a,b,c,d,e,f,g,h,i,j; il existe 10 nombres k,l,m,n,o,p,q,r,s,t appartenant à {-1,0,1} tels que ak+bl+cm+dn+eo+fp+gq+hr+is+jt soit divisible par 1001. Prouver-le.

Bonne chance!!! Et vive Drichelet!!!
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[prgasp77]

on peut avoir la traduction du smiley stp ?

[invitec7b3f097]

1/ Soit a1,..,a13 les reels choisis. Pour tout i=1,2,...,13 il existe un unique reel xi dans ]-pi/2;pi/2[ tel que ai=tan(xi).
D'apres Dirichlet :
il existe i,j tq:
0<xi-xj<=pi/12
Soit
tan0<tan(xi-xj)<=tan(pi/12)
Comme tan(pi/12)=2-rac(3) c'est bon

2/ On decoupe notre grand cube en petits cubes , en tout 13*13*13, de cote 2racine(3)/3 ou moins.
On voit alors que la sphere circonscrite a chaqu'un de ces petits cubes est inf ou egale a 1.
On a en tout 2197 petits cubes.
11000/2197=5.007, donc un petit cube contiendra 6 points d'apres Dirichlet


3/ Je nomme a1,a2,...,a10 les entiers.
Je nomme b1,...,b10 les seconds entiers.
Soit E l'ensemble forme pas les vecteurs (y1,..,y10) tels que yi=+ ou -1 pour i=1,..,10.
On affecte a chaque somme yi.ai (Somme de i=1 a n) sa classe modulo 1001.
Comme card(E)=2^10=1024, il existe 2 vecteurs (u1,...,u10) et (v1,..,v10) tels que:
Toutes les sommes sont de i=1 a 10:
S(ui.ai)-S(vi.ai)=S((ui-vi)ai) soit div par 1001 d'apres Dirichlet
Comme ui-vi=-2 ou 0 ou 2 et uj-vj !=0 pour un certain j.
Donc:
S((ui-vi).ai/2) est div par 1001, et (ui-vi)=-1,0,1.

[invite5a378f84]

excuse pour le smiley, c'est "divisé et ouvrir la parenthèse"
Quant aux réponses du poète, elle sont irréprochables. Pour ceux qui pigent pas, Drichelet dit "si on place pn+1 objets dans n ensembles, il y aura un ensemble d'au moins n+1 éléments"

[A voir en vidéo sur Futura]

[freesbeep]

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"3 problèmes pour se détendre"
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Et 3 blagues pour stresser

[invitec12706a7]

c'est quoi l'énnoncé de ce théorème de Dirichlet ?

[invite5a378f84]

en gros, si on met 4 chaussettes dans 3 tiroirs, il y a un tiroir qui contient au moins 2 chassettes (car si on met une seule chaussette par tiroir, il en reste une)
cela se généralise: si on place kn+1 éléments dans n ensembles, il y a un ensemble qui contient au moins k+1 éléments.
De plus, si on répartit a+b+1 éléments dans 2 ensembles, soit le premier contient au moins a+1 élements soit le second contient au moins b+1 éléments