équivalent en 0

[invite88c5e6d4]

bonjour tous le monde, je voudrais savoir si quelqu'un peut m'aider à trouver l'équivalent au voisinage de 0 de
(1+sinx)^x - (1+x)^sinx
il semblerait qu'il faut utiliser les développement limités
mais comment?
merci de votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

En écrivant , tu devrais pouvoir faire ton développement limité sans trop de difficulté avec des composition de DL usuels.

[invite88c5e6d4]

ok,mais à quel ordre faudrait-il s'arrêter?comment on peut le savoir?

[invite57a1e779]

Tu commences par calculer le développement limité de ,
puis tu calcules le développement limité de , et tu soustrais les deux résultats.

Il te suffit donc d'aller jusqu'au premier terme qui est différent dans les deux développements limités.

Quand tu démarres le calcul, tu n'as aucun moyen de savoir quel sera ce terme, donc l'ordre auquel pousser tes développements limités.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88c5e6d4]

ok , merci beaucoup
c'est assez claire,
je voudrais juste savoir si on a le droit de multiplier 2 développement limité?
si oui ,le résultat est bien le produit des 2?

[invite88c5e6d4]

la réponse est oui et c'est bien le produit d'aprés google

[invite88c5e6d4]

je trouve au final (x^4)/2 +o(x^4)
es ce correct ??
merci

[invite57a1e779]

Si tu as et , tu as parfaitement le droit de multiplier les égalités, et tu obtiens ; et ce, quelle que soit la forme des expressions et : formules explicites, définition des fonctions par des intégrales, développements limités, ... et pouvant ne pas être de même type.

De et , j'ai parfaitement le droit de déduire ; reste à savoir si ça peut servir à quelque chose...

En particulier on peut multiplier des développements limités, et c'est utile.

[invite88c5e6d4]

Merci God's Breath , je retiendrais

[invite57a1e779]

je trouve au final (x^4)/2 +o(x^4)
es ce correct ??

J'ai bien peur que non, et qu'il soit nécessaire d'aller à l'ordre 5 pour obtenir l'équivalent.

[invite88c5e6d4]

ok , merci je vais alors recommencé

[invite88c5e6d4]

je suis vraiment pas sur mais ça serait pas plutot -(x^4)/2 +7(x^5)/6 +o(x^5) ????

[invite88c5e6d4]

Up s'il vous plait

[invite57a1e779]

Quelques calculs pour que tu puisses vérifier ce que tu as fait, mais je n'ai pas le courage de faire tous les DL...

[inviteaf1870ed]

Voilà ce que dit Wolfram Alpha, pour que tu puisses vérifier tes calculs (à l'ordre 10 !)
x^5/12-x^6/9+(137 x^7)/720-(91 x^8)/360+(313 x^9)/1008+O(x^10)