Calcul du flux d'un champ de vecteur a travers le bord d'un octant ( 1/8 de la sphère)

[invited30f25e4]

Bonjour, j'espère que je pourrais trouver de l'aide sur ce forum

J'ai un devoir a rendre pour Vendredi prochain sur les flux des champs de vecteur voici l'enoncer :

On se propose de calculer le flux du champ de vecteur F= xêx + yêy + ( x+y)êz à travers le bord de l'octant ( 1/8 de la sphère) C défini

par ::

C = {(x,y,z) appartient à R^3, x² + y² + z² <=R, x>=0, y>=0, Z>=0}.

1. Esquisser l'octant : j'ai donc deciner 1/8 eme d'une sphère, mais si C correspondait a la surface de l'octant ou a la totalité de celui ci ?

2. sans utiliser la formule de gauss, calculer :
Double integral (d rond de C) F.n.dS ( avec F et n des vecteurs)

indice donné : il faut découper judiscieusement la surface d rond C en quatre, et choisir le paramétrage adéquat sur chacune d'entres elles pour que le vecteur normal de la surface soit sortant.

Et c'est ici que ca coince pour moi, j'ai réflechi et je suppose que l'on va devoir utiliser les coordonées sphériques, je pense donc découper d rond de C en :
- r qui irait de 0 a R
- Téta qui irait de 0 a Pi
- Phi qui irait de 0 à 2 Pi

et integrer par rapport a ces valeurs la. Mais je ne comprend pas a koi corespond d rond C ? et le vecteur n ?

Par contre je sait que dS = Valur absollue ( dx/du vectoril dx/dV) avec d : d rond et x un vecteur.

Pourriez vous m'aider a résoudre cette première partie en me donnant des pistes pour réfléchir? Enfiin.. si vous arrivé a comprendre quelque chose
Merci d'avance!!

la piuuce

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[God's Breath]

1. Esquisser l'octant : j'ai donc deciner 1/8 eme d'une sphère, mais si C correspondait a la surface de l'octant ou a la totalité de celui ci ?

Tel qu'il est défini, l'octant est un 1/8 de la boule, pas de la sphère : c'est un volume, et non pas une surface.

Mais je ne comprend pas a koi corespond d rond C ? et le vecteur n ?

Tu intègres sur la surface qui limite le volume de l'octant, c'est cette surface que l'on note , et le vecteur est le vecteur unitaire normal à cette surface.

L'indication veut simplement te faire calculer séparément le flux du champ
– sur la partie de qui est un morceau de sphère ;
– sur chacune des trois faces planes de .

[invited30f25e4]

Merci de m'avoir repondu aussi rapidement.

Malgrè les indication que vous m'avez donnez, je n'arrive pas a calculer cette double integral... Est ce que je doit faire un changement de variable sur F en coordonner sphérique ?

Comment trouver le paramétrage adequat pour que le vecteur normal soit sortant ?

Est -il juste de remplacer dS par r²sin(Téta)d(Téta)d(Phi) Le jacobien .. pour faire le changement de variable ?

J'ai du mal a visualiser le but de l'exercice ...

Jattend votre réponse avec impatience!

Merci d'avance !

[God's Breath]

Pour intégrer sur le 1/8 de sphère, il est certainement plus pratique de passer en sphériques...
Si tu as bien dessiné l'octant, il est immédiat que le vecteur normal sortant sur la face sphérique est alors .
L'élément de surface est bien .

N'oublie pas d'intégrer sur les faces latérales planes de l'octant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited30f25e4]

Jai réflechi sur le sujet, et j'ai paramétrer les trois faces planes en coordonnées cartesiennes, j'obtien :

- Face 1 : défini sur x et z :
k= {(x,z) 0<x<R, 0<z<R}

-Face 2 : défini sur x et y :
k={(x,y) 0<x<R , 0<y<R}

-Face 3: défini sur y et z
k={(y,z) 0<y<R , 0<z<R}

-Face 4 : face bombé : je n'arive pas a vraiment la définir. POurriez vous m'aider. Je supoose seulement que 0<x<r , 0<y<r et 0<z<r

Je fait donc le changement de variable pour la Face 1 : et j'obtient :
Delta = {(r, téta)/0<r<R et 0<Téta<(pi/2)}
est ce juste ?

ensuite je fait mon changement de variable dans l'integrale : jobtien
A=Integrale ( de C) dx dy = Integrale ( delta) [jacobien] f(x,y) dr d(téta)

= Integrale (de 0 a R)Integrale ( de 0 à Pi/2)( r² sin(Téta).F. d(téta) dr)

Mon probleme est que je ne comprend pas comment je peu integrer F alors que je n'est ni r ni Téta, mais que des x et des y. Comme je vous l'est demander la dernière fois, je pense qu'il faut faire un changement de variable en coordonnées sphériques pour pouvoir l'integrer. Mais quand je pose
x=rsin(Téta)cos(Phi)
y= rsin(Téta)sin(Phi)
z=rcos(Téta)

jobtien un F qui ne se s'implifie pas :
F=r[(sin(Téta)cos(Phi))ex + (sin(Téta)sin(Phi))ey + (sin(Téta)cos(Phi) + sin(Téta)sin(Phi) ez)

Comment s'implifier ca pour pouvoir l'integrer ?

Pourriez vous egalement m'expliquer comment paramétrer la face ?

Merci d'avance! J'attend votre réponse avec impatience

[invited30f25e4]

S'il vous plaiit ..

[God's Breath]

La face sphérique est donnée par les coordonnées sphériques :

avec , , et est le rayon de la sphère.

Quant aux faces planes, ce sont des quarts de cercle, et tu les définis comme des carrés : il y a un problème.

[invited30f25e4]

Merci beaucoup pour toutes les indications! Je vais réussir a m'en sortir!

[kalish]

J'ajouterais que même si x, y, et z sont tels que les a décrit god breath's, il faut aussi que tu fasse le produit scalaire entre les vecteurs ex, ey, ez et n, tu peux exprimer ex ey ez a partir de e_r e_theta e_phi. ou n en cartésien puis repasser en sphérique ensuite.

[Rincevent]

J'ajouterais que même si x, y, et z sont tels que les a décrit god breath's, il faut aussi que tu fasse le produit scalaire entre les vecteurs ex, ey, ez et n, tu peux exprimer ex ey ez a partir de e_r e_theta e_phi. ou n en cartésien puis repasser en sphérique ensuite.

j'espère qu'en 28 mois il ou elle s'en est rendu compte

[kalish]

...ah mince...fail... c'est que j'ai mis 28 mois à trouver la solution aussi.