convergence de n!/(n^n)

invite89ec769d · 24/03/2010, 23h17

Bonsoir,

Voilà je suis depuis un moment sur cette suite : u= n!/(n^n)
Je dois en étudier la convergence, et je ne sais pas le faire de manière proprement.

On sait que n! tend moins vite vers +OO que n^n donc u tend vers 0.

invite57a1e779 · 24/03/2010, 23h28

Bonjour,

Tu peux par exemple essayer de prouver que $\text{[math]}$ .

inviteea028771 · 24/03/2010, 23h34

Assez simple, tu majore tout les termes de la factorielle par n sauf les deux premiers :

$\text{[math]}$

Donc ca tend vers 0

Et si tu t'intéresse a la série, tu as la série de terme $\text{[math]}$ qui est une série de Riemann convergente, donc ta série converge

invite89ec769d · 24/03/2010, 23h52

merci beaucoup pour vos deux réponses.

Je n'avais pas vu vu qu'on pouvait majorer n! comme ça.
Bonne soirée

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**breukin** · 25/03/2010, 16h50

C'est effectivement une majoration très très large, mais... largement suffisante pour ce problème.

inviteccee45bb · 26/03/2010, 21h59

Tu peux aussi utiliser la formule de stirling:

inviteccee45bb · 26/03/2010, 22h09

fausse manip dsl

invite48f1cb0c · 16/06/2016, 12h33

bonjour,

toujours pour cette même suite,
si on doit juste prouver l'existence d'une limite, peut on dire que grâce au calcul de un+1/un<1 alors la suite décroit, comme un>0, alors elle est décroissante, minorée, donc converge. Cela ne donne pas la limite, mais on ne me demande que de conclure à l'existence d'une limite. Est-ce correct ?

**gg0** · 16/06/2016, 12h40

Bonjour Tit310.

Comme tu ne fis qu'appliquer des règles et que tu obtiens le résultat, pourquoi poser la question ?

Cordialement.

invite48f1cb0c · 16/06/2016, 12h43

je reprends les études après 15 ans. Je n'ai pas d'aide, donc je doute un peu ... beaucoup !

invite48f1cb0c · 16/06/2016, 12h53

Et lorsque la suite devient : U_n = (n!)²/nⁿ, comment peut on prouver l'existence d'une limite ? merci d'avance,

invite51d17075 · 16/06/2016, 13h03

pour la première question, ta réponse justifie l'existence d'une limite, c'est ce qui est demandé.
car on ne demande pas de la calculer.

pour la seconde, tu peux essayer la même méthode, et voir ce que cela donne.
ou le déduire de la formule de Stirling donnée plus haut.

invite48f1cb0c · 16/06/2016, 13h14

j'ai déjà tenté ces deux méthodes, mais je n'arrive pas à conclure

**gg0** · 16/06/2016, 13h37

Sans tes calculs, on ne peut pas t'aider à continuer.

Sinon, bon courage, puisque tu reprends.

invite57a1e779 · 16/06/2016, 13h40

Bonjour,

Une méthode "dalembertienne" :

$\text{[math]}$

Donc a partir d'un certain rang $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

et la suite $\text{[math]}$ est croissante à partir du rang $\text{[math]}$ .

On en déduit :

$\text{[math]}$

donc la suite $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ .

invite48f1cb0c · 16/06/2016, 13h49

Merci God's breath. J'avais réussi la première partie u_n+1/u_n qui tend vers +inf, et je me doutais que la suite divergeait. Mais comme dans l'ex on me demande "par une minoration ou majoration simple de montrer l'existence d'une limite" .... je buggais !

inviteb99bfc61 · 23/07/2017, 08h08

Bonjour je déterre cette discussion qui date:
Si l'on developpe ça donne 1/n x 2/n x 3/n...... x n/n
C est un produit de facteurs positifs tous inférieurs à 1....on peut le majorer par n'importe lequel de ses membres soit 1/n
Est ce mon cheminement est acceptable?
Merci.
Pascal

**gg0** · 23/07/2017, 10h02

Oui.

je n'ai pas vérifié, mais est-ce que ça n'a pas déjà été dit ?
D'autres majorations sont plus intéressante pour la série associée.

Cordialement.

inviteb99bfc61 · 23/07/2017, 10h58

Re,
j'ai parcouru le post et j ai vu des solutions plus compliquées mais pas celle là. Merci
Pascal

convergence de n!/(n^n)

convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

Re : convergence de n!/(n^n)

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