Résolution équation differentielle

[invite9ac8f13d]

Bonjour je suis en 2° année de Physique et j'ai un prob au nivo d'un exo de maths :

l'équation differentielle est la suivante :

x²(x-1)y'(x) + x(2x-1)y(x) = 1

x défini sur ]-∞,0[ U ] 0,1 [ U ]1,+∞ [

J'ai résolus l'équation générale et je trouve :
y=λ/x(x-1)

Les solutions st :
λ1x(x-1) pour ]-∞,0[
λ2x(x-1) pour ] 0,1 [
λ3x(x-1) pour ]1,+∞ [

Pour la solution part :
je pose y0(x)= λ(x)/ x(x-1)
je trouve λ(x) = ln (x )+ k
je choisis dc par exemple y0(x) = ln(x)/x(x-1)
la solution générale est dc définie par :

(λ1+ln(x)) / x(x-1) pour ]-∞,0[
(λ2+ln(x)) / x(x-1) pour ] 0,1 [
(λ3+ln(x)) / x(x-1) pour ]1,+∞ [

J'ai 2 points singulier :
x0 = 0 et x1 = 1

on me demande de montrer qu'il existe 1 unique solution G définie sur ]0,+∞ [ qui vérifie l'équation.

Je voudrais savoir ci c'est nécessaire que j'étudie le problème de raccordement en 0 et en 1. (calcul limite finies entre autre )

et quel théorème,quel raisonnement dois-je utiliser pour montrer l'existence et l'unicité de la solution G.

Je pense qu'on parle d'unicité globale mais dans mon cours il est écrit : " une fction est globalement lipschitzienne en y et uniformément en x " si : ... dès les premier mots , je suis larguer ; quant aux exemple dans mon cours il ne st pas explicité du tout.

Merci pour vos futures réponses et explications
-----

[madininais]

As-tu vu le théoreme de Caucgy-Lipchitz?

[hhh86]

Je pense que tu voulais plutot dire continue sur ]0;+inf[ ? Car aucune de tes solutions n'est définie en 1 donc on peut prolonger l'ensemble de tes fonctions solutions en 1 mais une seule de celles-ci sera continue.

En utilisant l'équation différentielle, tu peux montrer que :
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont de la forme :
f(1)=1
f(x)=(k+ln(x)) / x(x-1) pour tout x appartenant à ]0;+inf[-{1}

Tu peux donc montrer que la fonction g définie par :
g(1)=1
g(x)=(ln(x)) / x(x-1) pour tout x appartenant à ]0;+inf[-{1}
est solution de l'équation différentielle est continue en 1 (limite du taux de variation)

Ensuite tu peux montrer que pour tout réel k différent de 0 et pour tout x ]0;+inf[-{1}, lim(x-->1)[(k+ln(x)) / x(x-1)]=+-inf ==> l'unicité

[invite9ac8f13d]

oui effectivement vu que l'intervalle demandé est ]0;+inf[ , et que 1 est un pt singulier , je voulais montrer que l'on pvait prolonger la fction par continuité en 1 mais puis j'aurais montré que f(1) = 1 est solution de l'équation, mais bon je ne savais pas si ma démarche était bonne ou à coté de la plaque et j'avais pas d'idée pour la suite.
je planche sur tes indications et je répond plus tard
Merci pour vos réponses.

Concernant le théorèeme de Cauchy, on a juste vu le théorème , mais pas d'application détaillé explicitement , et plus je le relis moins je le comprend , c'est surtout la démarche en cas d'exo qu'on a pas vu dc je n'ai pas d'explication sur le pourquoi du comment !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9ac8f13d]

j'ai un problème , comment sais-tu que f(1) =1 est solution de l'équation

[invite9ac8f13d]

je trouve limit en lorsque x tend vers 1 par x négatif - infini et par x positif +infini , cela ne pose pas un problème pr la suite ???

[invite9ac8f13d]

je me suis trompé j'ai calculé en zéro et non en 1

[hhh86]

j'ai un problème , comment sais-tu que f(1) =1 est solution de l'équation

Pour tout x appartenant à ]0;+inf[, x²(x-1)y'(x) + x(2x-1)y(x) = 1
Donc pour x=1, 1²(1-1)y'(1) + 1*(2*1-1)y(1) = 1
<=>y(1)=1