intégrale curviligne

[invitef7cb9c5c]

[B][B]Bonsoir,
Je reviens sur un exercice qui me questionne

D= { (x, y) des réels, (x-1)(x+2)+y²=0}
et I= intégrale sur D de P(x,y) dx+ Q(x,y) dy
avec P(x,y) dx= y³/ (x²+y²)²
Q(x,y) dy= - x y²/(x²+y²)²

P et Q ne sont pas continues à l'origine, on ne peut pas utiliser la formule green Riemann

je commence par y²= - (x-1)(x+2)
alors y= + ou - [- (x-1)(x+2)]^1/2
et y³= + ou - [ - (x-1)(x+2)]^3/2
y'=? dérivé de y
puis je remplace tous les y de l'intégrales qu'il me reste à intégrer par rapport à x

mais tout ça me semble bien compliqué
je ne sais pas comment m'en sortir avec le calcul de cette intégrale curviligne
qu'en pensez-vous?
fifrelette
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[Universus]

Salut,

Regardons D. La condition que y est réel et que les couples (x,y) satisfont l'équation implique que . Ainsi, pour de tels x, .

Par ailleurs, on peut montrer que est une équation différentielle totale exacte et donc il existe une fonction f(x,y) telle que avec et .

En fait, et donc, sauf erreur, on veut calculer :



en substituant y par y(x) obtenue par la définition de D.

L'intégrale ci-dessus est en fait indéfinie, puisqu'aux bornes x=-2 et x=1, y=0 (et donc l'argument de l'arc-tangente diverge). y=0 implique que le premier terme est nul à ces bornes et il ne reste que l'arc-tangente qui, si je ne me trompe pas, donne à la limite:

[Universus]

L'intégrale ci-dessus est en fait indéfinie

Plutôt impropre qu'indéfinie.

[invitef7cb9c5c]

bonjour,
pourquoi on ne peux pas avoir
y(x)= - [(1-x)(x+2)] ?
fifrelette

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Bonjour,

Il me semble qu'il y a une ambiguité dans l'énoncé de la question :

D= { (x, y) des réels, (x-1)(x+2)+y^2=0}

Est-ce que (D) est l'arc de parabole d'équation (x-1)(x+2)+y^2=0 sur -2<x<1 (ainsi que le laisse croire le titre de la question "intégrale curviligne" , ainsi que l'écriture (x-1)(x+2)+y^2=0 qui défini une courbe et non pas une surface) ?
Ou est-ce que (D) est la surface limitée par cet arc de parabole et l'axe des abscisses (ainsi que le laisse croire le fait de parler de Green-Riemann) ? au quel cas il aurait fallu écrire (x-1)(x+2)+y^2<0 ; y>0 qui aurait défini une surface. Et ce ne serait pas une intégrale curviligne.

S'il s'agit bien de l'intégrale curviligne sur l'arc de parabole, ce n'est pas trop compliqué. Dans ce cas, j'ai obtenu :
(39/2)-28.ln(2)+(3pi/8)

[invitef7cb9c5c]

bonjour
il s'agit bien d'une égalité dans D et d'une intégrale curviligne
Après avoir calculé la différence des dérivées partielles de Q et P respectivement à X et Y , on me demande si je peux en déduire I
Je réponds non dans la mesure où ces dérivées ne sont pas continues
mais en effet Green-Riemann s'applique aux surfaces
je vais donc revoir ça
sinon j'étais en train de calculer I
si tu veux bien me donner quelques détails
par exemple je trouve: dy=(-x -1/2) [(1-x)(x+2)]^-1/2 dx
je continues, à plus tard
fifrelette

[invite57a1e779]

D= { (x, y) des réels, (x-1)(x+2)+y²=0}
et I= intégrale sur D de P(x,y) dx+ Q(x,y) dy
avec P(x,y) dx= y³/ (x²+y²)²
Q(x,y) dy= - x y²/(x²+y²)²

On met l'équation cartésienne de sous forme canonique

et l'on voit que est le cercle centré en (-1/2,0), de rayon 3/2.
On a donc la représentation paramétrique de : pour .

Sur , on a , et l'intégrale est :

qui est visiblement strictement négatif.

La méthode d'Universus qui emploie des primitives discontinues ne peut pas fonctionner.

Je ne sais pas où JJacquelin a vu un arc de parabole, à moins que je ne me fourvoie totalement.

[invite63e767fa]

En effet, il s'agit bien d'un arc de cercle.
En fait, je n'avais pas fait attention car le but de ma question était d'être certain qu'il s'agissait bien d'un problème d'intégrale curviligne et non pas d'intégrale de surface. Alors le genre de courbe n'avait pas d'importance sur ce point précis.
Fifrelette ayant répondu positivement, je maintiens le résultat que j'ai indiqué (Certes, à vérifier car nul n'est à l'abri d'une erreur)

[invite63e767fa]

Une autre méthode que celle proposée par God's breath :
(x-1)(x+2)+y^2=0
(2x+1)dx+2y.dy=0
y.dy = -(2x+1)dx/2

x^2+y^2 = x^2-x^2-x+2 = 2-x
P = y^3/(2-x)^2
Q = -x.y^2/(2-x)^2

Le report dans P.dx+Q.dy et l'élimination des y et dy conduit à deux intégrales qui ne contiennent que des x et dx. Elles peuvent être calculées directement.

[invitef7cb9c5c]

j'aurai du voir que c'était un cercle de centre (-1/2, 0) et de rayon 2/3
j'ai fait le dessin
et je me demande encore pourquoi -pi<=t<=pi et non pas 0<=t<=2pi?

encore une autre question:
est_ce que la non continuité des dérivées partielles de Q et P par rapport à x et y respectivement est une raison suffisante pour qu'on ne puisse pas déduire I de la différence de ces dérivées partielles?
merci
fifrelette

[invite57a1e779]

je me demande encore pourquoi -pi<=t<=pi et non pas 0<=t<=2pi?

Je donne une représentation paramétrique du cercle qui est -périodique, il faut donc intégrer sur une période pour calculer l'intégrale sur la totalité du cercle, peu importe que ce soit ou .
J'ai choisi la première possibilité : on peut ainsi profiter de la parité de la fonction à intégrer, et réduire l'intervalle à , ce qui peut s'avérer pratique pour la suite du calcul.

[invite63e767fa]

Je ne vois pas de discontinuité de la fonction à intégrer sur l'arc de cercle. Le dénominateur des fractions polynomiales P et Q est (2-x)^2 et ne s'annule pas lorsque x varie de -2 à 1.
On n'est absolument pas dans le contexte de Green-Riemann avec le point singulier (0,0). En ce qui concerne l'intégrale curviligne, le point (0,0) n'est pas sur l'arc de cercle et n'intervient donc pas.

[invite57a1e779]

On n'est absolument pas dans le contexte de Green-Riemann avec le point singulier (0,0).

Effectivement, on est dans le contexte du théorème des résidus. Je m'aperçois d'une petite incongruité de l'énoncé : le chemin d'intégration D n'est pas orienté, et je l'ai implicitement orienté dans le sens trigonométrique.

[invite63e767fa]

Il y a encore une anomalie dans l'énoncé de la question (premier message de fifrelette) :

avec P(x,y) dx= y^3/ (x^2+y^2)^2
Q(x,y) dy= - x y^2/(x^2^+y^2)^2

Ceci n'a aucun sens car un infinitésimal P.dx ou Q.dy ne peut pas être égal à une expression finie.
J'ai supposé que :
P(x,y) = y^3/ (x^2+y^2)^2
Q(x,y) = - x y^2/(x^2+y^2)^2
De plus, je signale que je n'ai pas trouvé la même chose avec la méthode de God's Breath qu'avec la mienne, ce qui implique que j'ai une (ou des) erreur(s) de calcul sur l'une ou sur l'autre.
J'arrête le massacre, en ne doutant pas que vous allez trouver quel est le bon résultat : c'est du calcul bourrin. Bon travail !

[invite63e767fa]

Bon j'avais une faute de signe qui sautait aux yeux.
Cette fois, je trouve la même chose (pi/2) avec les deux méthodes.
Avec la méthode de God's Breath, il me semble que l'intégration doit être faite entre -pi et 0 car on n'intègre seulement sur le demi-cercle supérieur et non sur le cercle complet.
Une troisième méthode donne la même chose :
P.dx+Q.dy = -(x²y²/(x²+y²)²)d(y/x)
( différentielle totale)
En posant t=y/x, on est ramené à Somme de (t²/(1+t²)²)dt pour t=-infini à +infini, ce qui donne pi/2
Sauf erreur !

[invite57a1e779]

je commence par y²= - (x-1)(x+2)
alors y= + ou - [- (x-1)(x+2)]^1/2

Il me semble que l'intégrale est à calculer sur le cercle complet... mais l'énoncé est on ne peut plus abscons.

[Universus]

Salut,

La méthode d'Universus qui emploie des primitives discontinues ne peut pas fonctionner.

Si ce n'est que je n'ai intégré que sur le demi-cercle supérieur et dans un sens horaire au lieu du sens trigonométrique, en quoi ma méthode est-elle fausse? Le fait que soit discontinue en y=0 est-il problématique? Je ne suis pas très habitué avec la théorie des équations différentielles, mais en soit la fonction est partout définie et continues sur le cercle à l'exception des points (-2,0) et (1,0) (mais elle se prolonge par continuité en ces points), ce qui ne cause pas vraiment de problème pour l'intégration. En quoi cela cause-t-il problème? Merci pour les clarifications.

[invite63e767fa]

Bonjour,

je pense que la méthode donnée par Universus (message d'hier 0h13) est viable. Bien évidemment, il faudrait justifier la convergence de l'intégrale, ce qui ne présente pas de difficulté majeure. (on comprend bien que sur un forum, on donne seulement la ligne directrice, sans entrer dans le détail de toutes les justifications : il faut bien laisser un peu d'initiative à la personne qui a demandé de l'aide)
La méthode d'Universus revient au même que celle que j'ai donnée dans le message d'hier 16h13 avec le changement t=x/y (et non pas t=y/x)
En effet, j'avais fait successivement t=x/y et t=y/x pour vérifier.
Malheureusement, à l'écriture de mon message, j'ai mal recopié ce qui a donné un mélange entre les deux. Je corrige donc l'écriture de mon message précédent :
P.dx+Q.dy = (y^4/(x²+y²)²)d(x/y)
En posant t=x/y, on est ramené à Somme de (1/(1+t²)²)dt pour t=-infini à +infini, ce qui donne pi/2
La démonstration de convergence est immédiate pour t tendant vers + ou - infini et il n'y a pas de discontinuité pour x=0 (donc t=0).
Le changement t=y/x est un peu plus compliqué à traiter à cause de la discontinuité en x=0 (t passant de -infini à +infini). Ceci conduit à Somme de (-t²/(1+t²)²)dt pour t=0 à -infini plus Somme de (-t²/(1+t²)²)dt pour t=-infini à 0 ce qui donne également pi/2

[invitef7cb9c5c]

bonjour
j'ai essayé de trouver la primitive de
[3sin²t- sin²t cost]/ (5-3cost)²
mais je tourne en rond
la primitive de
-3 sin t/ (5-3 cost)² est 1/(5-3cost)
et ln(5-3cost) est la primitive de 3 sint/ (5-3cost)
mais ça ne me mène à rien avec des intégrations par parties...

sinon j'ai essayé la méthode de jjacquelin, j'y arrive pas non plus
alors je me tourne à nouveau vers vous
qu'est ce que je n'ai pas vu qui pourrait m'aider à réussir cette intégration?
merci, fifrelette

[invite57a1e779]

On intègre par parties :


Par division euclidienne : , donc :


Dans la dernière intégrale, on pose :


donc .

[invite63e767fa]

sinon j'ai essayé la méthode de jjacquelin, j'y arrive pas non plus

voir la page jointe
:

[invitef7cb9c5c]

bonjour God's Breath
je ne sais pas comment te remercier
en tout cas
j'essaierai de me souvenir de cette méthode
faire apparaitre que des cos ou des sin
les remplacer par une variable et chercher un produit
enfin il faut vraiment que je travaille l'agilité avec les changements de variables
Il me manque aussi quelque repère à propos des égalités entre arc(sin x)
ou cos ( n arctan x)
je n'ai pas encore trouvé de pages, en connais-tu?
bonne journée
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

Rebonjour
encore une question
il me semble qu'on ne pouvait pas déduire de la différence des dérivées partielles P(x,y) par rapport à x et Q(x,y) parapport à y.?
Cette différence est égale à zéro.
En effet les deux dérivées partielles sont égales.
Mais je ne sais pas dire pourquoi?
Avez-vous une idée?
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

Au fait God's Breath , on avait I= -27/4 d'une intégrale
donc I=-pi
merci encore
fifrelette

[invitef7cb9c5c]

désolée Jjacquelin, je ne comprends pas
surtout d(x/y)
merci quand même
fifrelette

[Universus]

Salut,

Je n'apporte rien de nouveau, mais je corrige mes gaffes. J'ai dit dans mon dernier message que la fonction f de mon premier message était prolongeable par continuité en y=0, ce qui est faux (la fonction étant antisymétrique en y et la partie arc-tangente ne tendant par vers 0 pour y le faisant). Du coup, la dérivée partielle en y n'est pas définie partout. Sauf qu'encore, une intégrale est toujours calculable.

[invite63e767fa]

je ne comprends pas surtout d(x/y)

Tu ne connais pas les différentielles totales de fonctions à deux variables ?
Exemple joint :