détermination d'une équation d'état à partir d'une différentielle

[invite89ec769d]

Voilà mon problème.

Lorsque qu'on me donne une différentielle et que l'on me demande si elle est total exacte ou pas, j'applique la condition de schwarz, en gros si les dérivées partielles croisées sont égales on "PEUT" avoir une différentielle exacte mais il faut encore la calculer sinon ce n'est pas une différentielle total exacte.

par exemple en TD on a fait cet exercice:

dP = -RTdV/(v-b)² + RdT/(V-b)

d²P/dTdV = -R/ (V-b)² d²P/dVdT = -R/(V-b)² (ps ici ce sont des drond )

Donc les dérivées partielles croisées sont égales, p peut être differentielle total exacte.

sauf que après notre professeur nous dit que P est de la forme

P(V,T) = RT/(v-b) +g(v) je comprend pas pourquoi il le fait en fonction de V et pas de T ???

Après avec les dérivées partielles ont trouves g'(v) =0 donc g(v)= constante, puis après en supposant que c'est un gaz parfait on trouve constante =0

Ce que j'aimerais comprendre c'est comment établir l'équation d'état.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

De la différentielle, on déduit que et .

Si l'on intègre a première égalité en , on trouve bien , et en reportant dans la seconde égalité, il vient et est constante.

On aurait tout aussi bien pu intégrer la seconde égalité en , d'où , et en reportant dans la première égalité, il vient et est constante.

Les deux calculs conduisent fort heureusement au même résultat : .
Dans la pratique, on commence par la variable qui fournit la primitive la plus simple à calculer.

[invite89ec769d]

ok, merci beaucoup, je viens de refaire le calcul, je comprends beaucoup mieux merci, sinon je voulais savoir si la condition de schwarz est suffisante pour montrer qu'une différentiel est totale exacte ? où il faut qu'elle admette une équation d'état pour qu'elle soit exacte ?

[invite57a1e779]

La condition de Schwarz n'est en général que nécessaire et non suffisante pour que la différentielle soit totale exacte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite89ec769d]

ok, merci

sinon il y a un autre exo où j'applique la méthode mais je trouve une réponse aberrante.

j'ai cette différentielle :

dV= AdT/p - (V/P+a)dP avec a, A des constantes.

Je dois donc trouver une équation d'état du genre PV = ...

jarrange un peu la différentielle

PdV= AdT - (V+aP)dP

j'intègre maintenant:


PdV/dT = A

PV = AT + g(T)

PdV/dp = AT/P + g'(T) = - V - aP

g'(T) = -V - aP - AT/P

g(T)= -PV - aP² - AT* ln(P)

PV = AT -PV - aP² - AT* ln(P) + cste

or je dois trouver

PV = AT - aP² + cste avec cste =0 .

pourriez-vous m'indiquer mon erreur ?

[invite57a1e779]

Bonjour,

PdV/dT = A

PV = AT + g(T)

L'erreur est ici, pour pouvoir primitiver en , il faudrait avoir

Tu dois écrire , et intégrer en : et reporter dans la relation pour obtenir une condition sur .