Soit m un nombre Réel. On considère les vecteurs de R² : f1=(m,4) et f2=(1,m). Determinez les valeurs de m pour lesquelles {f1,f2} est une base de R². Pour ces valeurs, donner les coordonnées du vecteur u=(x,y) dans cette nouvelle base.
je comprend pas comment on peut résoudre cet exercice :s
en fait on veut définir m pour que les deux couples ()() soient combinaison linéaire d'un point?
en fait je ne comprend pas pourquoi on définit un point avec 4 paramètres ><"
Tes vecteurs f1 et f2 forment une famille de deux vecteurs dans R² (qu est de dimension 2) donc il suffit de prouver que cette famille est libre pour qu'elle soit une base de R².
On identifie les coordonnées :
- Si m différent de 2, on peut simplifier par 4-m² et trouver en remplaçant dans la première équation :
La famille est alors libre et donc une base.
- Si m=2, alors :
La famille est donc liée et donc n'est pas une base.
Donc la famille est une base si et seulement si m est différent de 2. Dans ce cas là, tout vecteur v=(x,y) de R² est combinaison linéaire de f1 et f2 :
On identifie les coordonnées :
Donc, si m est différent de 2, pour tout v=(x,y) de R², on peut écrire v comme combinaison linéaire de f1 et f2 :
Quel intérêt y a-t-il dans le fait de résoudre entièrement l'exercice à la place de l'intéressé ? Vous ne lui rendez pas service car vous ne lui apprenez rien.
Un exercice ne peut pas être profitable si c'est quelqu'un d'autre qui vous le résout, or visiblement théophane43 a des lacunes en algèbre linéaire.
Hmmh, je sais pas pourquoi mais je croyais qu'il demandait une démonstration de l'exercice pour voir la méthode, et du coup je me suis un peu emballé, mais je me suis visiblement totalement gouré, c'est visiblement les bases qui posent problème (c'est le cas de le dire). Donc mea culpa maxima. Je laisse des modos/admins supprimer mon premier message si il l'estime non conforme au but du forum.
Mais pour en revenir au sujet, je vais tenter de répondre aux (vraies) questions de theophane43 et de reprendre un peu les bases :
Une base est une famille de vecteurs qui permettent d'exprimer tout vecteur d'un certain espace vectoriel sous la forme d'une combinaison linéaire unique. Il en existe des très simples par exemple pour R² les vecteurs (1,0) et (0,1), qui forme la base dite canonique. Dans ce cas, le vecteur (x,y) sera égal à x(1,0) + y(0,1).
Dans ton cas, tes deux vecteurs dépendent d'un paramètre m. Le fait qu'il soit une base dépendra donc de se paramètre. En effet, si ici m=2, tu auras f1=2*f2 et donc toute combinaison linéaire de f1 et f2 pourra être reformulé comme combinaison linéaire de seulement f1 par exemple.
Dans ce cas on voit assez facilement que la famille n'est pas une base : avec une combinaison linéaire d'un seul vecteur, tu ne pourrais pas exprimer n'importe quel vecteur de R² ; ici on aurait le vecteur f1=(2,1), on ne peut par exemple pas exprimer le vecteur (1,2) comme un certain nombre de fois (2,1).
Pour ce qui est de démontrer que la famille est une base si m est différent de 2, la solution la plus élémentaire mais la moins maligne est de montrer :
- que tout vecteur peut s'écrire comme combinaison linéaire de f1 et f2 (la famille est dite alors génératrice)
- qu'un vecteur de la famille ne peut être exprimé comme combinaison linéaire de l'autre (on dit alors que la famille est libre)
Il y a cependant un théorème qui fait intervenir la dimension de ton espace vectoriel : ici R² de dimension 2. Ce théorème te dit que si tu as une famille de n vecteurs dans un espace de dimension n, alors il suffit que cette famille soit libre pour être une base. Donc ici, il faut démontrer que la famille f1,f2 est libre : la démonstration est dans mon poste plus haut.
Pour ce qui est de ta remarque "en fait je ne comprend pas pourquoi on définit un point avec 4 paramètres" :
Il faut bien comprendre que si tu as une combinaison linéaire de deux vecteurs, tu n'as que deux paramètres, les coefficients devant tes vecteurs. Si on reprends par exemple la base canonique tu as :
(x,y)=x(1,0)+y(0,1). Ici les deux paramètres qui définissent ton point sont x et y bien que tes deux vecteurs (1,0) et (0,1) sont "formés en tout" de quatre nombres.
Voilà, j'espère que j'ai été clair dans mes explications ...
ha ouais c'ést carrément super clair
Je te remerci pour tes explications !! =)
Pour ce qui est de la correction que tu as fournie je ne suis pas vraiment d'accord avec s321, je suis en fac de maths c'est a dire que j'ai compris que je devais bosser pour moi depuis un petit moment ^^ ce n'est pas dans mon interet de recopier bêtement un corriger sans chercher =) donc pas de soucis ^^
bonne journée =)
Je crois qu'il u a une petite erreur dans la correction: si m=-2, la famille n'est pas libre.
Cordialement
