Bonjour,
j'ai lu des documents sur les plans d'expériences. D'après ce que j'ai compris, ils permettent à la fois de sélectionner un nombre d'essais inférieur à celui de base mais aussi à mon grand étonnement de déterminer une équation de fonction dépendant de tous ces paramètres. Est ce vraiment le cas? Si oui comment juge t-on de la précision de cette fonction?
Merci d'avance
Le plans permettent de sélectionner les expériences à faire- > Elle te donne ce qu'on appele la matrice d'expériences X
La fonction, elle, est obtenue après la simulation/expérimentations. Une fois que tu as obtenu chaque valeur de ta sortie Y (pour chaque expérience décrite dans X), alors tu fais une régression linéaire multiple. Cette régression va te donner la matrice de ton système (cette matrice décrit entièrement ta fonction f modélisée). Cette matrice est donnée par :
Un moyen pour voir si ta fonction est bonne est de calculé la moyenne de l'erreur au carrée. Pour cela, tu calcules ta sortie estimée. Tu peux tracer la figure Ye=f(Y) pour voir le nuage de dispersion (normalement, ca donne grosso modo un nuage centré autour de la droite Y(x)=x )
Puis tu calcules
Tu peux également calculer le coefficient de détermination R² (il doit être proche de 1 si ta fonction est bien approximée)
bonsoir,
petite précision: pour déterminer un plan d'expérience ayant de bonnes propriétés, il faut avoir choisi le modèle (ce que tu appelles la fonction) au préalable.
Merci de ces précisions.
S j'ai bien compris la démarche à suivre est la suivante:
-je définis mes paramètres et leurs niveaux
-je choisis le modèle (linéaire, quadratique...)
-je réalise un plan d'expérience réduit ou complet
-je fais mes expériences
-j'identifie mes coefficients
-je m'assure de la qualité du modèle.
Est-ce bien ça? De plus, comment choisit-on le modèle? Grâce à cette dernier étape (on commence du plus simple cad régression linéaire pour ensuite augmenter la difficulté)? Les interactions entre paramètres ont-elles une influence?
Le choix du modèle est surement le plus difficile à faire. C'est d'ailleurs là que réside vraiment la valeur ajouté du processus (sinon le reste c'est du calcul et une méthode à dérouler). Bref, ca demande de l'expérience et une bonne connaissance du problème. En général, il y a deux façons de procéder :
1) Tu connais très bien ton problème, tu connais ou arrive à deviner les grandes tendances de ton modèle, alors tu peux supposer un modèle de départ plus ou moins compliqué (par exemple, pour certains modèle, la présence de termes quadratique est indispensable).
2) Si tu es vraiment dans le flou, alors il faut commencer par des plans spécifiques qui vont te dire les tendances de ta réponse. De même, pour les paramètres : es-tu sûr que tout tes paramètres sont influents ou non. Si oui, alors tu peux postuler un modèle correcte dès le départ, sinon il vaut mieux faire quelques expériences pour chercher les influences (ca ne sert à rien de se trainer des paramètres qui sont en fait peu ou pas influents).
Enfin, tout dépend de tes moyens d'expériences/simulation : peux tu faire énormément de simulations à moindre coût ou pas.
Pour un bon début, il est conseiller d'utiliser des plans fractionnaire ou de Plackett et Bruman qui sont moins couteux qu'un plan complet. Ne commence pas avec beaucoup de niveaux pour les facteurs.
Donc en gros, il faut un peu itérer :
1) je postule mon modèle avec les connaissances que j'ai. Si je suis dans le flou, je commence avec un modèle très simple (linéaire, peut être avec interaction d'ordre 1 et encore...)
2) je fais un plan simple pour vérifier que mon modèle est à peu près cohérent
3) soit je suis satisfait, et je complète mes plans pour obtenir une meilleure approximation de ma fonction, soit je retourne au 1)
Merci beaucoup du temps consacré à mon ignorance... la démarche me semble tout à fait parfaite à mon problème: commencer du plus simple et augmenter la difficulté de calcul en fonction de la précision.
Je lis plein de documents pour être à peu près au point avant de commencer mon étude. Cependant encore plusieurs questions subsistent et notamment comment calcule t-on les coefficients à l'ordre un par exemple lorsqu'il y a plus de 2 niveaux?
De plus, n'y a t-il que des méthodes de régression pour calculer les coefficients (l'analyse de la variance, la méthode de Taguchi étant pour voir l'influence des paramètres par exemple)?
Si tu as des questions, n'hésites pas. Mais bon, je suis comme toi, je n'ai lu que de la doc de ci de là, jamais eu de cours théorique/pratique là-desus (bien dommage d'ailleurs).
Pour moi, si tu utilises des plans d'expériences, alors il faut utiliser une regression linéaire pour trouver les coefficients car c'est ce qu'on optimise dans les plans d'expériences.
En gros, tu peux montrer qu'à partir de l'équation de régression (celle que j'ai déjà donné plus bas), on obtient le résultat :
Donc je pense que si tu utilises autre chose pour modéliser ta fonction, les plans d'expériences ne sont plus forcément adapter/optimaux (mais ca reste à confirmer quand même)
Sinon, je n'ai pas bien compris ta question : "comment calcule t-on les coefficients à l'ordre un par exemple lorsqu'il y a plus de 2 niveaux?" : De quels coefficients parles-tu exactement ?
J'ai lu des documents dans lesquels il calcule les coefficients du modèle cad (a1,...,an) dans f(x1,...,xn)=ao+a1*x1+a2*x2...
Par exemple: http://www.si.ens-cachan.fr/accueil_...iche_ressource à la troisième partie (identification des coefficients).
Dans ces calculs seul l'ordre 2 est traité, je ne trouve pas de calcul de coefficient à l'ordre 3 par exemple.
Si tu fais une régression linéaire, tu obtiendras le même résultat. La matrice A contiendra tous les cofficients ai de ton modèle. Ca marche quelque soit le degré de ton modèle. Pour faire cette régression et obtenir la matrice A, il suffit d'utiliser l'équation que j'ai posté plus bas.
Par exemple, si tu as pris un modèle
alors tu auras dans ta matrice A :
Si par exemple, on a:
x1 x2 Résultat (Y)
-1 -1 3
1 -1 2
-1 1 4
1 1 5
La matrice A=Inverse(tXX)tXY avec X=(1 -1 -1
1 1 -1
1 -1 1
1 1 1)
Ce qui nous donne (a0, a1, a2).
Que devient cette matrice X si on a par exemple:
x1 x2 Résultat (Y)
1 1 3
1 2 2
2 1 4
2 2 5
3 1 6
3 2 7
Les chiffres (1, 2, 3) représentant les niveaux de chacun des paramètres???
c'est exactement ca.Envoyé par galix
La planification optimale nous dit que :
1) pour X2 : il a deux niveau, on code donc un effet linéaire de façon symétrique par rapport à 0 : donx X=+1 ou -1
2) Pour X1 : il a 3 niveaux, il faut donc le coder par -1 0 +1. ATTENTION : ceci ne sera valable que pour les effet linéaire et les interactions linéaires. Pour les effets carrés etc, il faudra utiliser un autre codage.
Ainsi, ta matrice X sera dans ce cas :
1 -1 -1
1 -1 1
1 0 -1
1 0 1
1 1 -1
1 1 1
Tu peux vérifier que la matrice
Comme tu as 6 expériences, tu peux rajouter aussi un effet d'interactions X1.X2 et un effet carré sur X1 etc. Bien entendu, tu ne pourras pas estimer plus de 6 coefficients vu que tu n'as que 6 expériences.
Que dit la planification optimale pour un paramètre à 4, 5... niveaux?
Y a t-il une généralisation des valeurs données pour représenter ces niveaux?
Et je continue à te remercier pour toutes ces réponses qui me permettent vraiment d'avancer.
Oui, pour les effets linéaires et d'interactions, c'est assez facile. Il sufit de coder (via un changement de variable) les niveaux de la façon suivante :
- si le nombre de niveaux est pair n=2p, alors il faut coder avec centré autour de 0, soit -p+1/2, ....-1/2, 1/2, ..., p-1/2
- si le nombre de niveaux est impaire n=2p+1 alors il faut coder avec -p ... -1 0 1 ... p
A priori la seule exception est lorsqu'on a 2 niveaux ou on code directement avec +1 ou -1.
Ensuite, pour les effets carrés et cubiques etc. c'est plus difficile (il faut coder via des polynomes orthogonaux)
C'est fou, je n'arrive pas à trouver toutes ces solutions sur internet.
En ce qui concerne les polynôme à utiliser, y a t-il aussi une règle à suivre??
Pour en revenir à la régression linéaire multiple, j'ai un exemple sous les yeux où au lieu de mettre un codage pour la matrice X, il met directement les valeurs des paramètres. A la fin il trouve les résultats des coefficients de la fonction. Est-ce normal?
La régression linéaire marche en mettant directement les valeurs, mais elle ne sera pas optimale.
Essaye par toi même en faisant 2 régressions avec le même modèle :
1) l'une en codant comme je t'ai montré
2) l'autre sans coder et en mettant directement les valeurs 1, 2 ou 3
Compare les résultats : normalement, tu devrais obtenir un meilleur résultat avec la solution 1) qu'avec 2)
D'ailleurs, il se peut que sans codage, ta matrice dans le cas 2) soit tellement mauvaise que l'inversion de tX.X ne sera même plus possible
Au contraire je trouve un R²=16% (ce qui est normal vu le peu d'expérience pris en compte) et environ 4 millions % lorsque X est codé. Je fais mes calculs sous Excel et je remplace juste les valeurs de la matrice X et toutes les autres (R², ecarts...) se mettent à jour.
En fait je m'étais trompé comme tu as du le penser. Par contre pour des niveaux supérieurs à 2 comment fait-on pour connaitre le code des termes d'ordres supérieurs comme par exemple:
x1 x2 x1*x2
1.5 -0.5 ?
????
Parce que la je ne peux avoir qu'une équation de la forme (avec 2 paramètres): y=a0+a1*x1+a2*x2 et non y=a0+a1*x1+a2*x2+a12*x1*x2...
Pour les termes d'interactions, quelque soit l'ordre, il n'y a aucun problème :
Pour X1.X2. ... .XN, il suffit de coder X1, X2, ...XN (ce que tu as déjà fait) puis de faire le produit composante par composante tout simplement (cf. produit d'Hadamard).
Par exemple, si tu as X1=(1, 1, -1, -1) et X2=(1, -1, 1, -1), alors tu obtiendras X1.X2=(1, -1, -1, 1) qui est bien orthogonal à X1, X2 mais aussi à la constante (1, 1, 1, 1)
Le codage par polynome arrive quand tu dois coder des termes quadratique, cubique, ... pures, comme X1² par exemple.
je reviens à la charge parce que trouver les documents adéquats n'est pas chose facile. Ce que j'essaie de trouver est une méthodologie pour choisir le bon plan d'expérience. Un plan complet est trop couteux en temps donc je souhaite réaliser un plan "réduit". Il en existe plein ( Plan Composite à faces centrées, Taguchi...). J'aimerais donc dire quel plan je choisis et pourquoi. Je ne trouve pas de liste interessante via Google.
Merci d'avance.
PS: je possède environ 6 variables et des niveaux pouvant très vite être important (environ 5-6 par exemple).
