Matrice et groupe multiplicatif
Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 9 sur 9

Matrice et groupe multiplicatif



  1. #1
    invitea2bb8b70

    Matrice et groupe multiplicatif


    ------

    Bonjour. J'ai qq difficultés sur un problème sur les matrices

    a. Soit A une matrice non nulle de Mn(R) . Etablir I'équivalence des cinq propriétés suivantes :
    (i) A appartient à un groupe multiplicatif $
    (ii) A et A' ont le même rang.
    (iii) A et A' ont la même image.
    (iv) A et A' ont le même noyau.
    (v) R^n est somme directe de Im A et Ker A .

    b. Donner, pour n = 2, un exemple de matrice non nulle n'appartenant à aucun sous- groupe multiplicatif de M2(R) .

    c. c. Montrer que pour que les cinq propositions de I.3.a soient vérifiées par A, il faut et il suffit qu'il existe une matrice X appartient à Mn(R), telle que AX = XA, X'A = X et A'X = A.
    Etablir dans ce cas que la matrice X est unique (Calculer de deux façons X12A2X2 où X1 et X2 solutions du problème.

    Pour la question a), j'ai réussi à montrer ttes les implications sauf (v) implique (i). En fait je ne sais pas trop comment interpréter mathématiquement A appartient à un grpe mulitplicatif.
    Donc je ne sais pas répondre à la question 2 non plus, puisque je ne sais pas quels sont les groupes multiplicatifs inclus dans M2(R)

    Merci d'avance pour votre aide

    -----

  2. #2
    invite57a1e779

    Re : Matrice et groupe multiplicatif

    Citation Envoyé par Isabella12 Voir le message
    Donner, pour n = 2, un exemple de matrice non nulle n'appartenant à aucun sous- groupe multiplicatif de M2(R).
    Comme n'est pas un groupe multiplicatif, j'ai de la peine à concevoir ce que peut être un sous-groupe...

    Par ailleurs qui est ?

  3. #3
    invitea2bb8b70

    Re : Matrice et groupe multiplicatif

    Je suis désolée, j'ai fait quelques fautes de frappe. Alors c'est "aucun groupe multiplicatif INCLUS DANS M2(R)"
    et tous les A' sont à remplacer par A2

  4. #4
    invite57a1e779

    Re : Matrice et groupe multiplicatif

    Si appartient à un groupe multiplicatif inclus dans , alors
    – l'élément neutre de ce groupe est une matrice qui satisfait ;
    admet pour élément symétrique une matrice qui satisfait .

    A partir de là, tu as , ce qui te permet d'en déduire les propriétés de noyau, d'image, de rang de et , et de résoudre la plupart des questions de ton exercice.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitec7c23c92

    Re : Matrice et groupe multiplicatif

    Comme n'est pas un groupe multiplicatif, j'ai de la peine à concevoir ce que peut être un sous-groupe...
    Il s'agit de groupes "autonomes" de matrices, pour la multiplication usuelle, qui ne sont pas forcément des sous-monoïdes de (en particulier il ne contiennent pas forcément la matrice identité).

    Citation Envoyé par Isabella12 Voir le message
    Pour la question a), j'ai réussi à montrer ttes les implications sauf (v) implique (i).

    En fait je ne sais pas trop comment interpréter mathématiquement A appartient à un grpe mulitplicatif.
    Je pense que, après un changement de base bien choisi, les matrices A de tels groupes sont diagonales par blocs, avec sur la diagonale un bloc inversible et un bloc nul.

    Donc je ne sais pas répondre à la question 2 non plus, puisque je ne sais pas quels sont les groupes multiplicatifs inclus dans M2(R)
    Par exemple la matrice

    ( 0 1 )
    ( 0 0 )

    devrait être un contre exemple. (à vérifier !)

  7. #6
    invitea2bb8b70

    Re : Matrice et groupe multiplicatif

    Merci pour vos réponses. Mais comment as-tu trouvé le contre exemple stp?

  8. #7
    invite57a1e779

    Re : Matrice et groupe multiplicatif

    On se débrouille pour avoir , de telle sorte que la propriété (v) tombe en défaut...

  9. #8
    invitea2bb8b70

    Re : Matrice et groupe multiplicatif

    J'ai réussi à montrer que X était unique mais je bloque sur une autre question.
    Soit B= (B1 B2) € Mn(R)
    (0 0)
    avec B1 € Glr(R) et r<n. Montrer que B € à un grpe multiplicatif de matrices et que l'inverse B' de B dans G est de la forme (C1 C2)
    (0 0)
    où on précisera C1 et C2 en fonction de B1 et B2.

    J'ai réussi à montrer la première partie de la question en utilisant la propriété (ii) mais je ne vois pas comment trouver B', vu qu'on ne sait pas ce qu'est le neutre de G...

  10. #9
    invitea2bb8b70

    Re : Matrice et groupe multiplicatif

    Désolée dans mon message, les matrices ne sont pas bien écrites . c'est B= et C=

Discussions similaires

  1. [Arithmétique] ordre multiplicatif d'un element
    Par inviteb7283ac9 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 10/12/2009, 20h57
  2. Générateur du groupe multiplicatif de Z/251Z,
    Par invite97a526b6 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 6
    Dernier message: 17/03/2009, 22h15
  3. Arithmétique (groupe multiplicatif)
    Par invitea4776461 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 09/12/2008, 13h50
  4. probleme de matrice ? groupe de lie et autre recherche personnel
    Par inviteb94c567e dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 0
    Dernier message: 28/08/2008, 11h16
  5. Différence entre un groupe alkyl et un groupe alcyle
    Par invite772894fa dans le forum Chimie
    Réponses: 1
    Dernier message: 10/07/2008, 09h11