Matrice et groupe multiplicatif

[invitea2bb8b70]

Bonjour. J'ai qq difficultés sur un problème sur les matrices

a. Soit A une matrice non nulle de Mn(R) . Etablir I'équivalence des cinq propriétés suivantes :
(i) A appartient à un groupe multiplicatif $
(ii) A et A' ont le même rang.
(iii) A et A' ont la même image.
(iv) A et A' ont le même noyau.
(v) R^n est somme directe de Im A et Ker A .

b. Donner, pour n = 2, un exemple de matrice non nulle n'appartenant à aucun sous- groupe multiplicatif de M2(R) .

c. c. Montrer que pour que les cinq propositions de I.3.a soient vérifiées par A, il faut et il suffit qu'il existe une matrice X appartient à Mn(R), telle que AX = XA, X'A = X et A'X = A.
Etablir dans ce cas que la matrice X est unique (Calculer de deux façons X₁²A²X₂ où X₁ et X₂ solutions du problème.

Pour la question a), j'ai réussi à montrer ttes les implications sauf (v) implique (i). En fait je ne sais pas trop comment interpréter mathématiquement A appartient à un grpe mulitplicatif.
Donc je ne sais pas répondre à la question 2 non plus, puisque je ne sais pas quels sont les groupes multiplicatifs inclus dans M2(R)

Merci d'avance pour votre aide
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[invite57a1e779]

Donner, pour n = 2, un exemple de matrice non nulle n'appartenant à aucun sous- groupe multiplicatif de M2(R).

Comme n'est pas un groupe multiplicatif, j'ai de la peine à concevoir ce que peut être un sous-groupe...

Par ailleurs qui est ?

[invitea2bb8b70]

Je suis désolée, j'ai fait quelques fautes de frappe. Alors c'est "aucun groupe multiplicatif INCLUS DANS M2(R)"
et tous les A' sont à remplacer par A²

[invite57a1e779]

Si appartient à un groupe multiplicatif inclus dans , alors
– l'élément neutre de ce groupe est une matrice qui satisfait ;
– admet pour élément symétrique une matrice qui satisfait .

A partir de là, tu as , ce qui te permet d'en déduire les propriétés de noyau, d'image, de rang de et , et de résoudre la plupart des questions de ton exercice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec7c23c92]

Comme n'est pas un groupe multiplicatif, j'ai de la peine à concevoir ce que peut être un sous-groupe...

Il s'agit de groupes "autonomes" de matrices, pour la multiplication usuelle, qui ne sont pas forcément des sous-monoïdes de (en particulier il ne contiennent pas forcément la matrice identité).

Pour la question a), j'ai réussi à montrer ttes les implications sauf (v) implique (i).

En fait je ne sais pas trop comment interpréter mathématiquement A appartient à un grpe mulitplicatif.

Je pense que, après un changement de base bien choisi, les matrices A de tels groupes sont diagonales par blocs, avec sur la diagonale un bloc inversible et un bloc nul.

Donc je ne sais pas répondre à la question 2 non plus, puisque je ne sais pas quels sont les groupes multiplicatifs inclus dans M2(R)

Par exemple la matrice

( 0 1 )
( 0 0 )

devrait être un contre exemple. (à vérifier !)

[invitea2bb8b70]

Merci pour vos réponses. Mais comment as-tu trouvé le contre exemple stp?

[invite57a1e779]

On se débrouille pour avoir , de telle sorte que la propriété (v) tombe en défaut...

[invitea2bb8b70]

J'ai réussi à montrer que X était unique mais je bloque sur une autre question.
Soit B= (B1 B2) € Mn(R)
(0 0)
avec B1 € Glr(R) et r<n. Montrer que B € à un grpe multiplicatif de matrices et que l'inverse B' de B dans G est de la forme (C1 C2)
(0 0)
où on précisera C1 et C2 en fonction de B1 et B2.

J'ai réussi à montrer la première partie de la question en utilisant la propriété (ii) mais je ne vois pas comment trouver B', vu qu'on ne sait pas ce qu'est le neutre de G...

[invitea2bb8b70]

Désolée dans mon message, les matrices ne sont pas bien écrites . c'est B= et C=