différentielle simplifiée

[invite67f80e10]

Bonjour

Je dois effectuer une double intégrales en x et ne y.

Ma variable de départ est donc dxdy.

Pour simplifier les calcul et surtout mettre des bornes à mon intégrale, on me propose un astucieux changement de variable dont je sais pas retrouver le résultat final.

x=rcosk
y=rsink

Au moment d'effectuer mon intégral, je me retrouve donc avec:

dxdy=drcoskdrsink

Je n'ai pas encore fais les différentielles en maths (un peu en physiques mais pas plus que ça) mais e propose la démarche suivante pour aboutir au résultat qui est rdrdk

dxdy=drcoskdrsink=(coskdr-rsinkdk)(sinkdr+rcoskdk)
=cosksinkdr²+rcos²kdrdk-rsin²kdrdk-r²sinkcoskdk²

Bon bah... tout ça c'est bien gentil mais je suis loin du résultat, pouvez vous me donner des éléments pour achever cette démo.
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[invitea3eb043e]

Ce n'est pas ainsi qu'on fait un changement de variables multiples, il faut utiliser le jacobien (tu peux regarder sur Wikipedia mais je doute que tu t'en sortes).
Plus simple serait de se référer au sens physique de dx dy : l'aire d'un morceau de plan entre x et x + dx et y et y + dy.
En coordonnées polaires (r,k), l'élément de surface est un morceau de couronne entre les rayons r et r+ dr et k et k+dk et l'aire vaut r dk * dr si on assimile cet élément à un rectangle.

[invite67f80e10]

Merci, le jacobien est à ma portée, c'est ce qu'il y a juste avant le la matrice jacobienne qui est de ma portée.

Je vais me contenté de de mon aire infinietésimale sur mon petit cercle.

Merci, bonne journée

[invite57a1e779]

Plus simple serait de se référer au sens physique de dx dy : l'aire d'un morceau de plan entre x et x + dx et y et y + dy.

Et avec ce sens physique de l'aire, il faut se rendre compte que le produit d'une différentielle par elle-même est nulle : représente une aire "aplatie".
Toujours au sens physique, l'élément infinitésimal d'aire est en fait porté par un vecteur normal au plan. Si on échange et , on change l'orientation, donc .

Pour que tout ceci soit plus rigoureux, il faudrait définir le produit extérieur des formes différentielles, et noter au lieu de .

dxdy=drcoskdrsink=(coskdr-rsinkdk)(sinkdr+rcoskdk)

Compte-tenu de mes remarques précédentes, subsiste seulement :
.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite67f80e10]

Balèze!!!!!!