question de Delta

[invite3c64d825]

Bonjour,

Une simple question qui va sûrement paraître triviale pour bon nombre d'entre vous, mais pour moi ça ne l'est pas !

Dans un exercice de physique (non non, ne vous fâchez pas ), on exprime le volume d'un tuyau par V=S.l avec S la section du tuyau et l sa longueur.
Jusque là, tout va bien. On me demande ensuite de déterminer la variation de longueur du tuyau due à une hausse de la température (coefficient de dilatation thermique).

Je me retrouve avec alpha= 1/(S.l) *S.dl/dT
En physique, on approxime en passant aux deltas, ce qui donne alpha=1/(S.l) * S.delta(l)/delta(T)

Dans la correction, on dit :

V=S.l d'où delta(V)/V= delta(S)/S + delta(l)/l
puis ensuite delta(S)/S=2delta(l)/l

C'est ces deux dernières lignes que je n'ai pas comprises du tout.

Quelqu'un pour m'aider ?
-----

[invite57a1e779]

Bonjour,

Lorsque devient et que devient , alors devient : .
Donc, aux termes du second ordre près : .
Et finalement : .

De même, la surface est homogène à un produit de longueur : , où est une constante qui décrit la géométrie de la surface.
Un calcul analogue fournit : .
Si la dilatation est isotrope : .

En fait, toutes ces formules sont des calculs de dérivées logarithmiques.

[invitea6f35777]

Salut,

Soient et des fonctions dérivable, on définit la dérivée logarithmique de par

1- En utilisant le fait que montrer que

2- montrer que si est proportionnel à alors

[invite3c64d825]

D'accord, merci beaucoup pour cette réponse très claire =) !

En fait, je crois que je n'ai jamais étudié les "différentielles logarithmiques", et en physique ils nous balancent ça, comme ça sans explications ni aucune.

J'ai une autre question qui me chagrine un peu, toujours par rapport à la même chose :

j'écris alpha=1/V * (dV/dT)p = 1/(S.l) * dV/dT

Or V = S.l, donc dV = S.dl

D'où alpha=1/(S.l)*(S.dl)/dT, ce qui me donne finalement

delta(l) = alpha*S.l.delta(T)*1/S

pour arriver finalement à l'expression

delta(l)= alpha*l*delta(T) or il manque un facteur 1/3...

En fait je comprends que la dilatation (isotrope ici) se fait dans les trois dimensions, donc pour avoir la dilatation selon un axe, il faut diviser celle-ci par 3, ce que je comprends très bien pour le cas d'un rectangle en 3D par exemple, mais la dimension cylindrique ici me pose problème, j'arrive mal à me le représenter...
En fait, j'arrive pas à projeter cette aspect de l*l*l pour un rectangle au cas d'un cylindre...
Dans le cas d'un rectangle, on a bien une longueur selon chaque axe, mais pour le cylindre, c'est plus pareil, on a une section qui occupe 2 des axes (je sais pas si je suis très clair)...

Comment exprimer ce S en fonction de l ? Car je pense que mon erreur a été de considérer que la section du tube restait constante, ce que je conçois être entièrement faux pour le cas d'une dilatation isotrope.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Si la section est circulaire, sa surface est ; comme je le disais dans mon premier message, il y a un constante géométrique (ici ) et les deux facteurs qui jouent le même rôle de la longueur et de la largeur dans le cas d'une section rectangulaire.
Si la section ne se dilatait que dans une direction, elle deviendrait elliptique.

[invite57a1e779]

Or V = S.l, donc dV = S.dl

Non, c'est la différentielle d'un produit : .

[invite3c64d825]

Merci beaucoup en tout cas ! =D

C'est beaucoup plus clair que ma correction, et au moins, là, je comprends !

[invite3c64d825]

J'ai une autre question, qui relève un peu plus de la physique cette fois, mais peut-être pourriez vous m'aider.

En fait dans mon exercice, on considère un certain volume d'eau contenu dans un tuyau de cuivre. Aux deux extrémités, les robinets sont fermés, donc le volume d'eau est "piégé" à l'intérieur de la conduite.

On parle de dilatation, et on nous dit que la dilatation de l'eau est plus importante que la dilatation du cuivre pour une même température.

Ma question est la suivante :

imaginons par exemple que la dilatation du cuivre soit nulle (pure supposition), que se passerait-il alors pour la dilatation de l'eau (isotrope ici) ?
Etant donné que la dilatation selon deux directions est empêchée par la conduite en cuivre, y aura-t-il des répercussions sur la dilatation axiale ? En fait, est-ce que la dilatation axiale va être plus importante pour compenser le fait que le volume d'eau ne peut pas se dilater selon son diamètre, ou alors est-ce que celle-ci va rester la même et la pression appliquée sur le fluide sera plus importante ?

J'espère avoir été clair...

[invite57a1e779]

Aux deux extrémités, les robinets sont fermés, donc le volume d'eau est "piégé" à l'intérieur de la conduite.

Le volume d'eau reste constant, donc la pression de l'eau dans le tube va augmenter, et lorsque la limite de résistance du cuivre sera atteinte, le tuyau va éclater.

C'est un problème de thermodynamique lié à l'équation d'état de l'eau liquide : la dilatation est due à une augmentation de température, qui va induire une modification de pression et de volume.
En général, l'eau reste en équilibre de pression avec le milieu extérieur, et seul le volume varie. En fermant les robinets, on crée une contrainte sur le volume, et l'équilibre thermodynamique ne peut être atteint que par une modification de la pression.