Limite d'intégrale, integration de Lebesgue

[inviteb7283ac9]

Bonjour,

On note l'ensemble des fonctions , intégrables par rapport à la mesure

soit et g(x)=xf(x). On suppose que

On pose


J'ai vérifié que était bien définie pour tout et que était continue sur

Je dois maintenant montrer que


Je sollicite votre aide pour répondre à cette question car l'inspiration me manque cruellement
(Je tiens à insister sur le fait que f n'est à priori pas positive)

Merci beaucoup pour l'aide que vous pourrez m'apporter
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Si est élément de , il en est de même de , et on a : .

On peut conclure par convergence monotone ou convergence dominée.

Je n'ai pas compris ce que la fonction vient faire dans l'histoire.

[inviteb7283ac9]

Merci ! je vais étudier ta réponse !
g sert plus loin dans l'exercice. Certes elle n'a aucun interet vis à vis de ma question, mais elle n'est pas à l'abri de servirplus tard^^

[inviteb7283ac9]

Ok, ça marche.
Comme on montre que la limite de est 0, on en déduit que tend vers 0 et que donc tend vers 0

[A voir en vidéo sur Futura]