Bonjour à tous
actuellement en stage, je suis tombé sur une forme (résistante :s) de l'équation de la chaleur.
Il y a en effet de la convection, de l'instationnarité, tout ceci en géométrie sphérique....
Mais voyez-plutôt :
avecau centre et T(rs) imposé
et où b est une constante positive
Qu'en pensez-vous ?
Existerait-t-il une solution analytique, comme pour la convection diffusion en cartésien ?
merci!
essayez la méthode de Fourier
As tu essayé de poser U=rT, puis de résoudre avec U de la forme f(r)g(t) ?
En effet dans le cas ou le terme convectif (central) est nul, partir sur une séparation des variables fonctionne. Mais dans le cas général, on obtient une équation du type:
..et donc pour la séparation des variables je pense que c'est mort..
sinon la méthode de Fourier j'ai essayé de me renseigner mais ca ne m'a pas semblé faisable.
Après, c'est possible qu'il n'y ait pas de solution analytique connue dans le cas sphérique, je voudrais pas vous torturer les méninges pour rien !!
PS: dsl pour la réponse tardive, je n'ai pas eu bcp de temps récemment..
Sans faire le changement U(x,y)=r.T(x,y), mais directemement avec T(x,y)=f(r)g(t), l'équation se sépare en
g'/g = c
k(b-r²)f''-k.r.f'-c.r²f = 0
Les solutions de la seconde EDO s'expriment formellement avec les "Spheroïdal wave functions"
Il en a été question sur le forum :
http://forums.futura-sciences.com/ma...-function.html
et voir par exemple :
http://en.wikipedia.org/wiki/Prolate...wave_functions
http://mathworld.wolfram.com/Spheroi...eFunction.html
Ces fonctions ont été largement étudiées et une recherche dans la littérature donnera des références.
Merci pour l'info JJacquelin. C'est vrai que c'est tellement similaire au cas cartésien qu'il devait y avoir une solution.
Plus qu'a potasser plus ou moins longuement tout ca maintenant...
J'aurai une solution numérique Scilab sous peu, si ca devait intéresser qqun...
On peut résoudre l'équation par une méthode dit; solution auto similaire , par exemple on pose
Merci faresb, ta méthode me permet de me ramener, sauf erreur, à l'ODE:
qu'on peut résoudre il me semble par superposition de exp(-2u) et u^(2k) sans convection (b=0). Mais c'est justement ce terme qui m'ennuie malheureusement, il reste un 't' dans l'équation..
