Fonction d'un solide, resultat temporel.

[invite865041db]

Bonjour à tous.
Je viens de m'inscrire sur ce forum à cause d'une idée qui me trotte dans la tête depuis un moment. N'étant encore qu'en terminale, j'imagine que, par un certain manque de connaissances, j'ai pu passer à coté d'éléments important montrant que ce que je propose est inutile ou ne fonctionne pas, ou bien cela a-t-il déjà été fait... mais je souhaite être fixé.

Voilà l'idée. J'ai déjà étudié plus que de raison, les fonctions qui, à partir d'une dimension (l'abscisse) donne un résultat dans une autre dimension (ordonnée). J'ai vu récemment les fonctions qui en fonction de deux dimensions (ordonnée et abscisse) donnent un résultat dans une troisième dimension (cote).
Alors pourquoi pas une fonction qui, en fonction des 3 dimensions spatiales, donne un résultat dans le temps, qui sert ici de 4 ème dimension.
Exemple : f(x,y,z) = (xyz)^2
A chaque point de l'espace, la fonction associe un temps t. En modélisant l'espace tel que chaque point de l'ensemble de définition de la fonction "s'allume" à l'instant t qui correspond à ses coordonnées, on obtient une vidéo modélisant la fonction. Par exemple, f(x,y,z) = 1/xyz serait une sphère qui rétrécirait de plus en plus lentement sans jamais devenir un point. f(x,y,z) = xyz serait une sphère qui grandirait de plus en plus vite. Toute fonction continue de ce type associerait, à un instant t, un solide dans l'espace.
Tout d'abord, cette modélisation est elle possible ? vu que j'arrive à peu près à me l'imaginer pour les fonctions simples, je n'ai pas trop de doute la dessus. Et il me semble que ce n'est même pas vraiment très difficile à réaliser pour une fonction pas trop trop compliquée. Reste deux questions : tout d'abord, est ce que cela a déjà été fait ? j'ai beau avoir cherché sur le net et demandé à un ancien élève de prépa MPSI, je n'ai jamais rien vu de semblable. Je suppose que des travaux ont forcément déjà était fait dessus mais, introuvables. Donc si l'un de vous a déjà entendu parlé de travaux de ce genre, j'aimerais bien qu'il me donne les références .
reste le plus important : cela a-t-il un intérêt ? Je suppose que oui, puisque qu'une fonction continue, associerait, à un temps t, un certain solide. Les idées de pistes qui me sont venues à l'esprit sont principalement : les fractales en 3D. Je sais qu'elles existent déjà depuis très longtemps, et que l'ensemble de Mandelbrot a déjà été calculé en 3 dimensions, mais on pourrait obtenir des fonctions ayant pour "asymptote" une fractale 3D... Autre idée ; j'ai souvent vu des articles sur les objets en 4 dimensions spatiales. Une technique très courante de représentation est de "faire traverser" cet objet dans la 3 ème dimension. cela donne un solide qui se déforme en fonction du temps... Serait il possible d'imaginer une fonction unique, qui à un cube ou un tetraèdre centré sur l'origine du repère, associe la représentation temporelle du passage dans la 3 eme dimension de l'équivalent en 4 dimensions de ce cube ou ce tétraèdre, selon un certain angle ? ça pourrait énormément simplifier ce genre de représentation, voir l'étendre facilement à n'importe quel solide irrégulier... bref bref, beaucoup de questions qui attendent leurs réponses.
Merci de votre patience.

Edit : je suppose qu'à l'aide d'autre modèle dimensionnel (je pense par exemple à la couleur, mais je suppose en oublier) on doit pouvoir modéliser des fonctions de beaucoup de dimensions. mais le temps est la seule dimension qui me semble donner un aperçu clair du résultat. exemple : si on utilise la couleur, on obtient un solide coloré, mais puisqu'on ne peut pas voir la couleur à l'interieur du solide à cause de la superposition, on ne peut pas voir l'ensemble de la fonction.
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[inviteea028771]

A vrai dire en mathématique on ne peux souvent pas représenter les objets sur lesquels on travaille.

On peut bien sur avoir des fonctions de dans
Des fonctions de dans

Mais aussi des fonctions d'un ensemble A dans un ensemble B, ou A et B peuvent être n'importe quels ensembles.

Par exemple la fonction d qui a une fonction dérivable (élément de l'ensemble des fonctions dérivables de R dans R) associe sa dérivée (élément de l'ensemble des fonctions de R dans R)... Bonne chance pour représenter d

[invitea6f35777]

Salut,

Oui c'est une idée naturelle et très simple à mettre en place. Effectivement il me semble qu'elle ne soit pas implémentée dans les logiciels classiques comme Maple, Mathematica, Matlab, Scilab ou autre. Encore qu'il faudrait aller fouiner dans la doc à chaque fois, car ces logiciels possèdent une multitude de fonctionnalités. Si ce genre de fonction n'est pas implémentée c'est à mon avis parce que cela n'a aucune utilité pratique. C'est amusant à faire mais pas dûr (et donc ça ne peut faire l'objet de publications scientifiques par contre ça peut faire l'objet d'exercice de premier année de fac ou de prépa dans le cadre d'un cours de géométrie euclidienne). Il est probable que beaucoup de personnes se soient déjà amusé à le faire, moi même j'ai déjà pensé à le faire mais finalement je ne l'ai jamais fait (j'arrivais déjà très bien de tête à visualiser un cube à quatre dimension "traverser" l'espace à trois dimensions et je me suis plutôt amusé à faire des programmes pour déssiner des fractales ou pour tracer des modèles 3D en fil de fer et diverse autre choses). Cela dit, la méthode que tu préconise de représenter un cube en 4D par un film a déjà été utilisé dans le film Cube 2 (même si je trouve ce film moins bien que le premier film Cube). On y trouve également une représentation plus classique du cube en 4d (aussi appelé tesseract) à l'aide de deux cubes imbriqués, une sorte de représentation en perspective cavalière généralisée. Si ça t'amuse tu peux regarder la page
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tesseract
Il existe des livres qui portent sur la géométrie en dimension 4 ou 5

Serait il possible d'imaginer une fonction unique, qui à un cube ou un tetraèdre centré sur l'origine du repère, associe la représentation temporelle du passage dans la 3 eme dimension de l'équivalent en 4 dimensions de ce cube ou ce tétraèdre, selon un certain angle ?

Bien sûr, il s'agit juste de faire une tomographie (lorque l'on fait une tomographie du cerveau on découpe le cerveau qui est un objet en 3D en tranches à 2 dimensions, ici c'est la même chose sauf qu'on découpe un objet 4D en tranche 3D). Il faut définir son cube dans l'espace 4d, choisir une droite dans cet espace, parcourir la droite à vitesse constante et à chaque fois calculer la projection orthogonale sur l'hyperplan orthogonal à la droite qui passe par le point où on est rendu sur la droite. Suivant la direction de la droite par rapport au cube on peut obtenir des trucs plus ou moins marrant (si la droite est orthogonale à une face du cube alors c'est nul, on ne voit qu'un cube qui ne bouge pas mais qui n'est présnt que pendant une certaine durée). Pour la boule, quelque soit la direction de la droite on voit un point qui grossi puis qui rerétrécit ...

Je t'encourage vivement à faire faire ces expériences par toi même quitte à regarder des cours de géométrie euclidienne niveau deug 1ère année, et des tutoriels de programmation. Cela te sera très bénéfique si tu envisage de continuer des études mathématiques

[invite865041db]

Merci pour vos réponses. Tryss, je suis bien conscient qu'on ne peut tout modéliser, et qu'il faut souvent se contenter des formules.
Cependant, quand on peut modéliser... autant en profiter. La question principale restant : cela a-t-il un intérêt. Cependant, si on te dit : je prends l'ensemble de Julia, un cercle de rayon 1 centré sur l'origine du repère. Je lui applique un nombre infini de fois une même opération. Et bien tu risques d'avoir du mal à imaginer ce que ça te donnes, dans le cas d'une fractale. En l'occurrence, c'est, je suppose, la modélisation d'une fractale qui a "lancé" les recherches dessus, puisque beaucoup de ses propriétés sont visibles rien qu'en en regardant le modèle. Du coup, je ne cherche pas à tout modéliser, mais je cherche à savoir si la modélisation peut, dans ce cas précis, apporter quelque chose.
KerLannais : merci pour ta réponse. En fait, je sais que la modélisation d'un objet en 4 dimensions traversant la 3 ème dimension a déjà était fait, je l'ai vu dans de nombreux magasines / dvd. Cependant, je n'ai jamais vu que des formes relativement simples et régulières, exemple : cube, tétraèdre...
si cette fonction existe, elle devrait permettre d'obtenir très facilement des modélisation pour l'équivalent 4D de n'importe quel solide 3D... c'est surtout là que je vois l'intérêt. Après, j'imagine que ça doit pouvoir peut être servir pour des modélisation physique, avec des équations bien choisies... Enfin ça me semblerait de toute façon absurde que personne ne s'y soit jamais intéressé, et si c'est introuvable sur le net... c'est probablement que ça n'a pas beaucoup d'intérêt ^^.
Mais bon, vu que j'ai quand même envie d'essayer, va falloir que je boss la programmation pour les 2 années de prépas à venir ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea6f35777]

Un truc que tu pourrais t'amuser à faire (mais attention en prépa on a moins le temps pour les loisirs) c'est représenter des quadriques 4D (au programme de prépas il y a les coniques (2D) et les quadriques (3D je ne sais plus si c'est officiellement au programme de MP, mais il y des chances que cela soit fait quand même, avec une plus forte probabilité en MP*) par contre les quadriques (4D) ne sont pas abordées). Ce sont des formes qui sont intermédiaires entre des formes géométriques simples et des formes très compliquées. En plus cela peut te permettre de maitriser ton chapitre coniques et quadriques , chapitre que la plupart des élèves de prépa n'apprécient guère, justement parce qu'il n'ont pas passé assez de temps dessus.
Sachant que les coniques s'obtiennent par intersection du cone 3D par des plans, et les quadriques par l'intersecteion du cone 4D par des hyperplans (3D), les quadriques 4D s'ontiennent par intersection du cone 5D avec des hyperplans(4D).

Sinon tu peut te donner un ensemble de points de l'espace 4D reliés par des arrètes, faces et hyperfaces(volumes) en faire des coupe 3D et les représenter.

[invite865041db]

Ok, merci.