apllication linéaire et dimenssion

[invite02f19616]

Bonjour,
est-il exacte de dire que les applications linéaires n'augmentent pas les dimenssions?
(dim(depart) jamais <dim(arrivée))
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[invitec317278e]

En vertu de théorème du rang, , effectivement.

[invite02f19616]

Ouff! Cool merci bien! Mais du coup sans parler du theoreme du rang sur ma copie je ne sais pas si le correcteur va me donner tous les points... ^^
merci pour l'explication

[invitec317278e]

Sans mentionner le théorème du rang, ça risque de pas trop plaire (et encore...c'est une propriété qui fait sans doute parti du cours de certains profs). Sauf si tu es très fort et que par ailleurs, tu as fait des choses difficiles dans le DS.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02f19616]

Heu je sais pas, mais juste avant je dis que le singleton 0 est un espace vectoriel de dimenssion 1...

[invite341bf20d]

Par convention je pense que , mais je ne sais pas pourquoi ! Si quelqu'un à une explication ...

[invite57a1e779]

Tout simplement parce que la famille vide, de cardinal 0, est une famille libre et génératrice, c'est-à-dire une base, de l'espace vectoriel {0}.

[inviteae1101ca]

Tu veux dire que est engendré par aucun vecteur ??

[invite57a1e779]

Ben, oui!

Par définition : est le plus petit espace vectoriel qui contient ; or :
– contient ;
– tout espace vectoriel qui contient contient également .

Donc .

[invite341bf20d]

Dernières questions , pourquoi ? et pourquoi tout espace contenant contient ?

[invite57a1e779]

Par définition d'un espace vectoriel, l'addition admet un élément neutre, que l'on note traditionnellement 0 ; donc tout espace vectoriel contient {0}.

Bien évidemment, si on travaille dans un espace vectoriel E, dans lequel l'élément neutre pour l'addition est noté a, alors le sous-espace de E engendré par l'ensemble vide est {a}... mais c'est relativement rare.