Les fractales.

[invitebf26947a]

Bonjour.

Je sais bien que c'est or de mon niveau, mais je m'interesse aux fractales, et aux ensembles de julia et je me demandai comment à partir d'equation ils pouvaient obtenir ces images:

http://www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/...es/chaos60.gif

http://amp2005.blog.lemonde.fr/files/fractales.jpg

http://media.paperblog.fr/i/91/91130...ales-L-11.jpeg

etc...

C'est vrai, c'est pas aussi facile que trcer f(x)=x², où on prend des points et on les relie entre eux.
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[Médiat]

Bonjour.

Je sais bien que c'est or de mon niveau, mais je m'interesse aux fractales, et aux ensembles de julia et je me demandai comment à partir d'equation ils pouvaient obtenir ces images:

http://www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/...es/chaos60.gif

http://amp2005.blog.lemonde.fr/files/fractales.jpg

http://media.paperblog.fr/i/91/91130...ales-L-11.jpeg

etc...

C'est vrai, c'est pas aussi facile que trcer f(x)=x², où on prend des points et on les relie entre eux.

Vous pouvez chercher sur le net un programme qui s'appelle FRACTINT (il existe au moins des version DOS et Windows), vous trouverez toutes les explications, et en plus c'est gratuit.

[invitebe0cd90e]

A ma connaissance, le programme le plus epoustouflant pour visualiser des fractales en tant reel est Xaos. Il est particulierement optimisé pour etre rapide, et permet litteralement de plonger dans les differentes fractales.

Pour la methode, basiquement on associe a chaque pixel un nombre complexe qui designe sa position dans un plan, et pour chacun de ces complexes on considere la suite définie par :



ou c est un complexe fixé. L'ordinateur calcule les premieres valeurs de la suite, et estime si la suite a l'air de converger ou pas, et si elle diverge, a quelle vitesse en un sens a definir. Il attribue ensuite au pixel a la position une couleur en fonction de cette vitesse de divergence.

[invitea6f35777]

Salut,

Je ne connais pas ton niveau en maths, je vais donc te donner une méthode pour tracer l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia la plus élémentaire possible.

L'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia sont des images, à chaque point du plan on a associé une couleur. Plus précisément à chaque point du plan on associe un indice entier et ensuite le choix d'une palette de couleur, c-à-d une fonction qui a un entier associe une couleur (un nombre de à si tu travaille en 16 millions de couleurs par exemple), est laissé à l'artiste programmeur. En générale, puisqu'il y a un nombre fini de couleurs et un nombre infini d'entiers, la fonction que l'on choisit est périodique. Par exemple avec couleurs tu peut associer à un entier son reste dans la division par cela te donne un numéro de couleur entre et .

En pratique tu ne traces pas tous les points du plan, ton image est pixelisée, les pixels ont une certaine taille qui dépend du zoom que tu as choisi et leur couleur correspond au point du plan en leur centre (ce sont des petits carrés). Ton image aura une certaine hauteur et largeur en pixels, mettons qu'elle ait pixels de large et de haut par exemple. Chaque pixel aura un couple de coordonnées entières (le numéro de la ligne et de la colonne du pixel). Il te faut d'abord faire une fonction qui associe aux coordonnées du pixel les coordonnées d'un point du plan. Cette fonction dépend bien sûr du zoom et de la zone de la fractale que tu observe. Par exemple si tu veux regarder la partie de la fractale qui correspond au rectangle du plan avec
de coordonnées
de coordonnées
de coordonnées
de coordonnées
si est un pixel de coordoonées (et si on compte les lignes de bas en haut) alors le point du plan correspondant au coin supérieur droit du pixel a pour coordonnées

ce point peut être utilisé pour calculer la couleur du pixel.

Le plus intéressant est la fonction qui a un point du plan de coordonnées associe un indice . En fait c'est très simple (si si je t'assure )

Pour des raisons pratique (parce que l'ordinateur n'a pas des capacités de calcul inifini) tu doit choisir deux constantes que tu pourra ajuster pour avoir un beau rendu (sachant que l'amélioration du rendu augmente le temps de calcul et est limité par les capacités de ton ordinateur). La première constante est une valeur de rayon , la fractale doit être contenue dans le cercle centre et de rayon . Tu n'auras pas de mal à l'ajuster et il aura toujours une valeurs raisonnable (en général entre et ). Par exemple pour la fractale de Mandelbrot tu peux fixer et ne plus le toucher. Le second paramètre est un indice maximal , on ne calculera que les points dont l'indice est inférieur à , il faudra bien sûr augmenter cet indice jusqu'à disparition totale des "patés noirs" que tu observera sur l'image que tu as obtenu. Par exemple sur ta deuxième image l'espèce de croix noire centrale et les deux cercles symétriquement disposé autour sont des défauts dûs au fait que le programmeur n'a pas choisit une valeur de assez grande. La constante doit être augmentée avec le zoom, est une bonne valeur de départ.

L'indice qui correspond en général à la couleur noire est attribué au points de la fractale proprement dite. Pour Mandelbrot l'indice du point est calculé par l'algorithme suivant (les données sont les coordonnées et du point et on renvoie )

faire




tant que  et que 

si  alors 

renvoyer 

(j'ai même réussi à programmer la fractale de Mandelbrot sur une calculatrice casio, seuls les points d'indice 0 étant coloriés en noir puisque l'écran n'a que deux couleurs)

Pour les ensembles de julia c'est quasiment pareil sauf qu'il faut choisir deux coordonnées et (ce qui revient à choisir un nombre complexe , je te fais cette remarque car c'est la convention que tu risque de trouver sur internet, c'est pour que tu ne sois pas perdu). Si ce point est choisi dans la partie noire de la fractale de Mandelbrot alors l'ensemble de Julia sera un paté noir, et si le point est choisi trop loin de la partie noire, l'ensemble de Julia sera vide. Il faut donc choisir un point à proximité de la frontière de la fractale de Mandelbrot pour avoir un jolie ensemble de Julia. L'algorithme est le suivant:

faire




tant que  et que 

si  alors 

renvoyer 

(Tu remarqueras qu'il est quasi identique à l'algorithme pour la fractale de Mandelbrot).

Si tu as réussi à programmer ça tu peut t'amuser à remplacer le test
soit par

et

soit par

ou
tu verras cela change l'esthétique de la fractale

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebf26947a]

Waw.

c'est un peu compliqué, mais vous avez été claire, donc j'ai bien compris. merci d'avoir pris le temps d'y repondre.

Mais on voit ça à quel niveau?Est-ce possible de les tracer avec un crayon et un papier?

[invitead11e21d]

c'est au programme dans certaine université, moi par exemple j'en ait fait en première année de Licence, c'était une option. Certaine fractales peuvent êtres tracés au crayon mais tu va vite être déçus puisqu'a une certaine itération, ton dessin est infaisable, la seule méthode qui puisse avoir des résultats sont informatique.

Pour explication, un point est de dimention 1, un plan c'est 2, et un espace c'est au minimum 3 (je t'épargnes les espaces a n dimentions), une fractale n'est pas une dimention entière : 1,54 peut être une fractale, ce n'est pas un point mais ce n'est pas non plus un plan.

Il me vient a l'idée du chou Romanesco ou encore l'étoile de Sierpinski (celle la tu peut essayer de la tracer si sa te dit ^^)

En esperant t'avoir aidé
Ciao Combieul

[invitebe0cd90e]

Salut,

per definition, avec ou sans ordinateur, une fractale est de toute facon impossible a tracer. C'est une courbe "infiniment irregulier", cad que tu peux zoomer dessus autant que tu veux et decouvrir toujours des irregularités. Tous les dessins ne sont donc que des approximations, des illustrations mais pas des "vraies" fractales.

Il y a des fractales qu'on peut raisonnablement tracer a la main, mais ce ne sont pas les plus jolies. Je pense en particulier au flocon de Koch : http://fr.wikipedia.org/wiki/Flocon_de_koch . c'est faisable par qu'elles sont issues d'un processus qu'on repete pour gagner en precision.

pour les ensembles de Mandelbroot ou de Julia, il y a bcp de calculs qui interviennent et un ordinateur est necessaire.

je te conesille vraiment de telecharger et de tester Xaos, tu seras bluffé : http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/doku.php . Tu peux aussi simplement regarder la galerie d'exemples d'images obtenues grace a ce logiciel : http://wmi.math.u-szeged.hu/xaos/dok...galleries:main

[inviteba7208f8]

Bonjour,
J'ai réalisé par le passé des images de l'ensemble de Mandelbrot et des ensembles de Julia.
Pour avoir des couleurs c'est en fonction de la valeur de convergence de la fonction utilisée.
Selon que cette valeur est plus grande ou plus petite que 4, il suffit d'affecter une couleur verte ou rouge.
Ensuite, on peut très bien prendre d'autres valeurs.
Encore une fois, pour dessiner des fractales, il faut "zoomer" dedans et prendre de très petits rectangles et les grossir sur toute la largeur et la longueur de l'écran.

Bonne journée

[inviteba7208f8]

Ci-joint un fichier contenant deux programmes de mandelbrot.
Je ne les ai pas testé ajourd'hui, sans doute cela fonctionnait il y a longtemps.
Le code qui importe c'est calcul() et dessin().
Le calcul est bien reconnaissable comme étant celui de l'ensemble de Mandelbrot.
@+

[JPL]

Un peu d'auto-promotion
http://www.futura-sciences.com/fr/do...234/c3/221/p1/

[archeos]

Hello!!!
Wahou!!! T'as toujours les mêmes lunettes?!!!!!!

[JPL]

Hello!!!
Wahou!!! T'as toujours les mêmes lunettes?!!!!!!

Pas les mêmes mais le même genre. Je sais, la mode c'est d'avoir des lunettes avec des tout petits verres, mais sur le plan du confort visuel c'est une con..... En plus j'ai une cravate, ce qui ne m'arrive presque jamais mais la photo a été prise lors d'un mariage.

Au fait, si on parlait des fractales ?

[inviteba7208f8]

bonjour,
qu'est ce que c'est le diagramme de feighenbaum ?

[invitedb2255b0]

c'est au programme dans certaine université, moi par exemple j'en ait fait en première année de Licence, c'était une option. Certaine fractales peuvent êtres tracés au crayon mais tu va vite être déçus puisqu'a une certaine itération, ton dessin est infaisable, la seule méthode qui puisse avoir des résultats sont informatique.

Pour explication, un point est de dimention 1, un plan c'est 2, et un espace c'est au minimum 3 (je t'épargnes les espaces a n dimentions), une fractale n'est pas une dimention entière : 1,54 peut être une fractale, ce n'est pas un point mais ce n'est pas non plus un plan.

Il me vient a l'idée du chou Romanesco ou encore l'étoile de Sierpinski (celle la tu peut essayer de la tracer si sa te dit ^^)

En esperant t'avoir aidé
Ciao Combieul

C'est faut, la dimension d'un point est 0.

Et juste pour le fun je te cite "Les Elements" d'euclide:

"Le point est ce dont la partie est nul".