Divergence et champ de vecteur sur une voile magnétique de satellite
Bonjour à tous,
Je prends le temps d’expliquer mon problème qui intéressera les matheux et les physiciens, en tout cas j’espère !
J’ai un satellite qui orbite autour de la Terre. Quand il est en fin de vie, le but est de le faire désorbiter (le ramener à l’altitude 100km pour qu’il se désintègre dans l’atmosphère).
Pour cela, j’ai une voile qui se déploie sur le satellite (cf pj). Elle crée de la trainée aérodynamique de par sa nature d’obstacle. En plus de cela, il y a un enroulement de fil sur son pourtour. Quand on alimente cette « bobine », cela crée une force magnétique due à l’interaction avec le champ magnétique terrestre. Alimentée au bon moment ca peut rajouter de la trainée pour aider la désorbitation.
Le moment du dipôle magnétique (l’axe d’enroulement du fil : m ) étant placé dans un champ magnétique externe (de la Terre) NON UNIFORME (B), la force est donnée par :
F=∇(m.B ) [1]
Avec :
F ∶Force magnétique (vecteur)
m ∶Moment du dipole magnétique (vecteur) :
B ∶Vecteur champ magnétique (vecteur)
Dans d’autres bouquins je trouve parfois :
F=(m.∇ ) B [2]
Question 1 : Quelle formule est la plus appropriée pour qualifier la force magnétique en jeu, 1 ou 2 ?
Si j’utilise la formule 1 : le produit scalaire m.B donne un scalaire (un nombre) et le gradient d’un scalaire est égal à un scalaire, cela ne peut donc pas donner une force (vecteur).
Question 2 : Comment se fait il que ca ne donne pas une force?
Si j’utilise la formule 2 : m.∇ = ∇.m=div(m)=(∂m_x)/∂x+(∂m_y)/∂y+(∂m_z)/∂z=scalaire
Question 3 : Juste pour vérification, j’ai bien le droit de dire : m.∇ = ∇.m, c’est juste ?
Avec la formule 2 on a donc bien un vecteur pour F car c’est : F =scalaire*B
Dans le processus de calcul d’orbite, cette force magnétique est ensuite sommée à la force de gravité et à la force de trainée de la voile, le tout divisé par la masse donne l’accélération du satellite. En passant ca dans Matlab (ode45, résolution d’équation différentielle), j’obtiens la prochaine position, donc les nouveaux :
- x,y,z : coordonnées du satellite / centre de la Terre
- v_x, v_y, v_z : vitesse du satellite
- m : moment du dipôle magnétique : parallèle à la vitesse puisque la trainée de la voile la met perpendiculaire au mouvement
- B car le champ magnétique terrestre n’est plus le même à la nouvelle position.
Le problème est que je dois avoir div(m) pour avoir la force magnétique à l’instant t pour ensuite avoir la position à l’instant (t + pas de temps). Or si je ne me trompe pas, l’opérateur divergence ne s’applique qu’à un champ de vecteurs (Q4 : c’est juste ? ) et non à un simple vecteur.
Question 5 : je dois donc avoir le champ de vecteur de m (cad tous les vecteurs m de ma future trajectoire) avant même de le calculer m par m. Comment faire ?
Imaginons que mon orbite soit maintenant circulaire et ne décroisse pas d’altitude (faux car on a de la trainée), on pourrait dire que m est toujours parallèle au vecteur vitesse et on pourrait ainsi prédire le champ de vecteurs m à l’avance.
Question 6 : Mais, dans ce cas, comment préciser dans le calcul de div(m) à quel vecteur m on est à l’instant t ? Sinon div(m) sera le même quelque soit la position sur orbite…et la force ne dépendra plus que de l’orientation de B…
Merci d’avoir lu ce long roman, j’espère n’avoir pas trop dit de bêtises, votre aide me sera plus que précieuse, c’est mon sujet de stage et la je bloque !!
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Comment est il possible de dériver un nombre sur x,y et z, ca donne forcément 0 sur chaque axe, non ?
