differencier une intégrale

[lippoi]

Bonjour,

Je ne me rappelle plus comment calculer :




J'ai un problème avec la borne...

Merci d'avance,
-----

[Jeanpaul]

Quand la borne x est en haut, la dérivée c'est la fonction dans l'intégrale pour la valeur x.
Ici x est en bas, on change le signe, c'est tout.
Mais est-ce bien le même x dans l'intégrante ?

[Thorin]

Salut,
tu peux écrire que avec :

[lippoi]

Merci,

c'est bien le même x partout.
Si je vous comprends tous les deux j'obtiens donc:
(en prenant , je me suis trompé en recopiant la première fois)



Merci pour votre aide,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Salut,

En me basant sur les indications de Jeanpaul et Thorin, voici une façon quelque peu différente de s'y prendre (je ne suis pas vraiment la recommandation de Thorin qui passe plus par la composition de fonctions alors que je passe plus par une interprétation multi-variables, mais l'idée me vient de lui).

Généralise ton problème comme étant de trouver la variation d'une fonction . Tout d'abord, ceci est une fonction à deux variables et donc sa différentielle est :



A priori, x et y sont indépendants et x et t sont indépendants. Cela nous permet déjà de trouver la première dérivée partielle :



où la dernière égalité est due aux considérations d'indépendances entre x et y et x et t ; on a permuté l'ordre de l'intégrale et de la dérivée partielle. Pour calculer la seconde dérivée partielle, il faut se baser sur le commentaire de Jeanpaul :



Pourquoi? Si désigne, pour x fixe, une primitive de , alors il existe une constante telle que et dériver par rapport à y donne , x étant fixe.

Ainsi a-t-on que . Si on veut connaître la variation totale de pour une variation infinitésimale de x, alors :



Le terme est important lorsqu'on veut restreindre notre attention de la variation de selon x suivant une certaine courbe dans le plan xy qui est le graphe d'une fonction . Bref, y n'est plus nécessairement indépendant de x. Dans ton cas, ce qui t'intéresse est le cas où x=y (avec ):



Ton cas particulier est même plus simple, car

La réponse se simplifie donc au final en ce que tu as trouvée (à ceci près que tu intègres par rapport à t et non à x).

[Thorin]

Salut Universus,

notons, afin que lippoi ne l'oublie pas, que l'interversion intégrale-dérivation utilisée pour le calcul de la dérivée partielle de G par rapport à x n'est pas nécessairement vraie, on ne dispose pas de théorème affirmant que l'on peut toujours permuter intégration et dérivation.

[lippoi]

Merci pour tout!

[Universus]

Salut Universus,

notons, afin que lippoi ne l'oublie pas, que l'interversion intégrale-dérivation utilisée pour le calcul de la dérivée partielle de G par rapport à x n'est pas nécessairement vraie, on ne dispose pas de théorème affirmant que l'on peut toujours permuter intégration et dérivation.

Je savais qu'il n'y avait pas de théorème général, mais il me semblait que lorsque la dérivée se faisait par rapport à une variable indépendante des 'variables-bornes' d'intégration et de la variable d'intégration, alors on pouvait permuter intégration et dérivation... Enfin, merci de la précision!