Simple Connexité

[invite17530cc4]

Bonjour à tous. J'ai découvert la notion de simple connexité sur wikipédia récemment et je pense avoir à peu près compris de quoi il s'agit dans le principe. Pour m'en assurer j'ai voulu essayer de manipuler un peu cela dans en essayant de voir que le plan privé de l'origine n'est pas simplement connexe (j'espère ne pas me fourvoyer sur ce point, mais il y a bien l'air d'y avoir un "trou" ). Cependant je dois dire que je bloque un peu. Quelqu'un saurait-il m'indiquer comment procéder ?

Merci d'avance
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[invite93e0873f]

Salut,

Une façon de procéder serait peut-être (je n'ai pas vérifié cette approche) de prendre deux chemins fermés (deux lacets) de l'espace (où ), l'un tournant autour de l'origine et l'autre non. Il faudrait alors montrer qu'il est impossible de déformer un lacet en l'autre sans éventuellement passer par l'origine (c'est-à-dire sans 'sortir' de ) ou sans déchirer un lacet pour le renouer plus tard.


Plus formellement, remarquons tout d'abord que le problème est équivalent à celui consistant à montrer que l'espace (i.e. le plan complexe duquel on retire 0) n'est pas simplement connexe. L'idée est donc de démontrer que si nous avons deux lacets (représentés par deux fonctions continues) associés respectivement à celui tournant autour 0 et celui ne tournant pas autour de 0, alors il n'existe pas de fonction continue telle que et . On appelle une homotopie et il faut l'interpréter comme suit : soit un point du premier lacet. Si on peut déformer continûment (sans déchirer la boucle) dans (sans passer par 0) le lacet en le lacet , alors donne le parcours (voulu continu) du point initial lors de la déformation. Dans le cas présent, on veut que pour tout , .


Deux chemins qui pourraient faire l'affaire sont (qui entoure l'origine) et (qui n'entoure pas l'origine). A priori, et sont définies de . On pourrait laisser ça comme ça, considérer les déformations dans le plan complexe (les homotopies ) du lacet vers le lacet et montrer qu'il existe pour tout choix de toujours un couple tel que .


Néanmoins, cette approche est probablement ardue et laborieuse (voir peut-être impraticable sans avoir recours à des théorèmes qui se démontrent aisément avec ce qui suit), surtout considérant sa généralité. Une approche plus lourde de techniques, mais d'autant plus forte et générale, est la suivante. Remarquons d'abord qu'à tout nombre complexe non nul , on associe un couple , soit un point du cercle unité et un réel strictement positif. On peut vouloir plutôt prendre un réel positif dans l'intervalle ouvert ; à tout on peut associer un unique tel que, par exemple, . Ainsi, à tout nombre du plan complexe, on peut associer un (unique) couple avec et . On dit que et on dit que et sont des espaces homéomorphes.


Si deux espaces sont homéomorphes, alors l'un est simplement connexe si et seulement si l'autre l'est. Ainsi, on peut chercher à déterminer plutôt si est simplement connexe ou non. La réponse est non. La justification passe par la notion de groupe fondamental d'homotopie (que le lien précédent explique mieux que je ne peux le faire). Un espace topologique est dit simplement connexe si son groupe fondamental est trivial. est simplement connexe, mais ne l'est pas. On peut montrer par ailleurs que cela implique que le produit n'a pas un groupe fondamental trivial et n'est donc pas simplement connexe.

[invite17530cc4]

En effet, j'avais commencé a exploiter ces pistes qui s'avèrent assez lourdes à mettre en place, c'est assez dur de rendre compte de ce que l'on "voit".

Je vais essayer de voir ce que je peux trouver sur le groupe fondamental d'homotopie pour bien saisir la notion. Merci pour l'indication en tout cas.