Bonjour.
Révisant un cours sur la connéxité, je tombe sur la proposition: "Dans un espace métrique, si les boules ouvertes sont connexes, alors les composantes connexes d'un ouvert sont ouvertes".
La démonstration est évidente mais je cherche depuis des heures un exemple d'espaces métriques dans lequel les boules ouvertes ne sont pas connexes. Une idée?
Merci.
un espace métrique dans lequel il existe au moins une boule ouverte non connexe c'est facile: prends la réunion de deux intervalles disjoints de R et la métrique induite par celle de R.
un espace métrique dans lequel aucune boule ouverte n'est connexe: Q comme partie de R et toujours la même métrique.
Schwartz donne un exemple d'espace connexe par arcs et non localement connexe: dans le plan R^2, la réunion de l'axe des x et de toutes les droites parallèles à l'axe des y et d'abcisse rationnelle.
Si tu cherches un exemple de l'espace métrique où des boules ouvertes sont non connexes tu peux prendre (IN, ||)Envoyé par taladris
Un exemple où aucune boule ouverte n'est connexe est je pense (K3,||) (http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor).
Oui comme pour n'importe quel espace totalement disconnexe puisque les seules composantes connexes sont les points.
C'est quand même très fort comme hypothèse, "tout point est inclus dans une boule connexe" suffit. Exemple d'espace satisfaisant l'un mais pas l'autre : le plan auquel on a oté un cercle.
oui mais il faut encore que les points ne soient pas des boules ouvertes.
En effet.il faut que tous les points soient des points d'accumulation.
Merci de toutes vos réponses.
Pour IN et Q munis de la topologie discrète, les composantes connexes d'un ouvert sont ouvertes (puisque toutes les parties sont ouvertes et fermées). Pour les autres, je ne sais pas. Je vais m'y pencher avec interet
Merci encore
