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groupe symétrique



  1. #1
    rhomuald

    groupe symétrique


    ------

    Bonsoir,

    je ne vois pas comment montrer que est engendré par la transposition et le -cycle .

    Merci pour toute indication.

    -----

  2. #2
    erff

    Re : groupe symétrique

    Bonjour,

    Avec ces 2 permutations, il est possible de faire n'importe quelle transposition :
    (i,i+1)=(1,2,..,n)^(i-1)*(1,2)*(1,2,..,n)^(n-i+1)

    et comme pour tout i,j on a :
    (i,j)=(i,i+1)*(i+1,i+2)*...*(j-1,j)*(j-2,j-1)*...*(i+1,i+2)*(i,i+1)

    et que toute permutation peut être vue comme un produit de transpositions...

  3. #3
    rhomuald

    Re : groupe symétrique

    Citation Envoyé par erff Voir le message
    Bonjour,

    Avec ces 2 permutations, il est possible de faire n'importe quelle transposition :
    (i,i+1)=(1,2,..,n)^(i-1)*(1,2)*(1,2,..,n)^(n-i+1)

    et comme pour tout i,j on a :
    (i,j)=(i,i+1)*(i+1,i+2)*...*(j-1,j)*(j-2,j-1)*...*(i+1,i+2)*(i,i+1)

    et que toute permutation peut être vue comme un produit de transpositions...
    effectivement, merci erff.

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