groupe symétrique

[invite769a1844]

Bonsoir,

je ne vois pas comment montrer que est engendré par la transposition et le -cycle .

Merci pour toute indication.
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[erff]

Bonjour,

Avec ces 2 permutations, il est possible de faire n'importe quelle transposition :
(i,i+1)=(1,2,..,n)^(i-1)*(1,2)*(1,2,..,n)^(n-i+1)

et comme pour tout i,j on a :
(i,j)=(i,i+1)*(i+1,i+2)*...*(j-1,j)*(j-2,j-1)*...*(i+1,i+2)*(i,i+1)

et que toute permutation peut être vue comme un produit de transpositions...

[invite769a1844]

Bonjour,

Avec ces 2 permutations, il est possible de faire n'importe quelle transposition :
(i,i+1)=(1,2,..,n)^(i-1)*(1,2)*(1,2,..,n)^(n-i+1)

et comme pour tout i,j on a :
(i,j)=(i,i+1)*(i+1,i+2)*...*(j-1,j)*(j-2,j-1)*...*(i+1,i+2)*(i,i+1)

et que toute permutation peut être vue comme un produit de transpositions...

effectivement, merci erff.