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Laplacien d'une fonction composée à plusieurs variables



  1. #1
    eldorico

    Laplacien d'une fonction composée à plusieurs variables


    ------

    Bonjour,

    Voilà deux jours que je me creuse la tête sur les dérivées partielles. Je bloque au moment d'effectuer la deuxième dérivée...

    Voici mon énoncé:

    Soient
    r=(x,y,z) et r=\ ||r||(r= vecteur et r, norme euclidienne de R)

    et

    Si f est de classe C2, montrer que pour tout r>0



    Donc, je voilà ce que j'ai fait:

    1)

    2)

    3)

    je factorise les

    4)

    ?Les dérivées partielles à droite de la parenthèse se simplifient? (à partir de là je suis plus trop sur de moi...

    5)

    6)

    7)

    8)

    Voilà donc ce que j'ai trouvé. Mais ça veut dire que

    et comme j'aime bien vérifier ce genre de choses, j'ai essayé de calculer f''(r), et j'arrive pas à ce résultat.... je fais:

    9)
    10)

    11)

    et je sais pas comment continuer... si , comment y arriver?

    En gros, soit j'ai fait une erreur dans l'exercice et je ne sais pas calcuer f''(r) , soit j'ai fait faux dans l'exercie, et je ne sais pas quoi... J'ai placé des numéros aux lignes pour aider...

    Vous voyez qqchose? Merci d'avance

    Eldorico

    -----

  2. #2
    Rincevent

    Re : Laplacien d'une fonction composée à plusieurs variables

    salut,

    voici comment ça marche quand r²=x²+y²... en 3d le principe est le même pour arriver au résultat demandé :



    d'autre part


    si tu fais ça aussi pour y et z puis que tu sommes, c'est gagné...

    le principe derrière cette 2ième étape c'est que si tu appliques l'opérateur à une fonction de r, c'est équivalent à appliquer et en particulier c'est vrai si tu l'appliques à .

    pour le reste j'ai pas compris ta ligne 4 (me semble bancale donc j'ai pas regardé les suivantes) et ta ligne 10 n'a aucun sens (donc j'ai pas regardé les suivantes)...

    [évidemment faudrait en plus mettre des dérivées partielles à plein d'endroits pour que les notations soient rigoureuses...]
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  3. #3
    eldorico

    Re : Laplacien d'une fonction composée à plusieurs variables

    okay... Merci beaucoup!!

    J'en dors beaucoup mieux là

    Pour la ligne 10, elle n'a vraiment aucun sens? ou ça sert à rien de développer?
    Si on dérive en fonction de r, faut aussi faire les dérivées internes non? r dépend de x,y et z non?

    En tout cas, Merci merci!



    PS: J'aime beaucoup ta citation

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