Laplacien d'une fonction composée à plusieurs variables

invitea0075240 · 25/05/2010, 21h03

Bonjour,

Voilà deux jours que je me creuse la tête sur les dérivées partielles. Je bloque au moment d'effectuer la deuxième dérivée...

Voici mon énoncé:

Soient
r=(x,y,z) et r=\ ||r||(r= vecteur et r, norme euclidienne de R)

et $\text{[math]}$

Si f est de classe C2, montrer que pour tout r>0

$\text{[math]}$

Donc, je voilà ce que j'ai fait:

1) $\text{[math]}$

2) $\text{[math]}$

3) $\text{[math]}$

je factorise les $\text{[math]}$

4) $\text{[math]}$

?Les dérivées partielles à droite de la parenthèse se simplifient? (à partir de là je suis plus trop sur de moi...

5) $\text{[math]}$

6) $\text{[math]}$

7) $\text{[math]}$

8) $\text{[math]}$

Voilà donc ce que j'ai trouvé. Mais ça veut dire que $\text{[math]}$

et comme j'aime bien vérifier ce genre de choses, j'ai essayé de calculer f''(r), et j'arrive pas à ce résultat.... je fais:

9) $\text{[math]}$
10) $\text{[math]}$

11) $\text{[math]}$

et je sais pas comment continuer... si $\text{[math]}$ , comment y arriver?

En gros, soit j'ai fait une erreur dans l'exercice et je ne sais pas calcuer f''(r) , soit j'ai fait faux dans l'exercie, et je ne sais pas quoi... J'ai placé des numéros aux lignes pour aider...

Vous voyez qqchose?

Merci d'avance

Eldorico

invitea29d1598 · 27/05/2010, 01h09

salut,

voici comment ça marche quand r²=x²+y²... en 3d le principe est le même pour arriver au résultat demandé :

$\text{[math]}$

d'autre part
$\text{[math]}$

si tu fais ça aussi pour y et z puis que tu sommes, c'est gagné...

le principe derrière cette 2ième étape c'est que si tu appliques l'opérateur $\text{[math]}$ à une fonction de r, c'est équivalent à appliquer $\text{[math]}$ et en particulier c'est vrai si tu l'appliques à $\text{[math]}$ .

pour le reste j'ai pas compris ta ligne 4 (me semble bancale donc j'ai pas regardé les suivantes) et ta ligne 10 n'a aucun sens (donc j'ai pas regardé les suivantes)...

[évidemment faudrait en plus mettre des dérivées partielles à plein d'endroits pour que les notations soient rigoureuses...]

invitea0075240 · 27/05/2010, 12h54

okay... Merci beaucoup!!

J'en dors beaucoup mieux là

Pour la ligne 10, elle n'a vraiment aucun sens? ou ça sert à rien de développer?
Si on dérive en fonction de r, faut aussi faire les dérivées internes non? r dépend de x,y et z non?

En tout cas, Merci merci!

PS: J'aime beaucoup ta citation

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