Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour démontrer les deux choses suivantes :
(1) si une fonction (numérique) admet une fonction réciproque, elle est unique. Je suppose qu'il en existe deux, f étant une fonction de I dans J. Alors il existerait g et g' de J dans I avec :
et
Comment prouver que g=g' ?
(2) Une fonction
Je montre
Merci par avance !
1) en utilisant la distributivité de l'addition sur la composition :
2) Si elle est bijective, la fonction qui a un element de J associe son (unique) antecedent est bien défini, ca me parait etreun bon candidat.
(1) Donc comme f n'est pas identiquement nulle, c'est que g-g'=0, autrement dit g=g' !
(2) C'est pas encore clair ! Je prend
C'est ca, et la bijectivité te garantit que cet element existe et qu'il est unique, et donc que cette fonction.. est bien une fonctionEnvoyé par Leonhardo
(2) C'est pas encore clair ! Je prendQuant a montrer que c'est la reciproque de f, c'est essentiellement sa definition.
Ok ! Cependant, j'aimerais revenir sur le premier point :
lorsqu'on écrit 0=f\circ g -f\circ g'=f\circ(g-g'), il serait plus "correct" d'écrire h=f\circ g -f\circ g'=f\circ(g-g') où h est la fonction identiquement nulle, non ?
pour la conclusion, je ne sais pas si cela est correct :
Oui, c'est vrai, c'est un petit abus de langage. Mais d'un autre coté, appeller h la fonction nulle c'est trompeur. Une maniere courante d'ecrire ca proprement c'est de mettre le symbole
Tu as parfaitement raison, c'est evidemment, totalement et irremediablement faux... Desolé, la fatigue, par reflexe j'ai sorti l'argument pour les applis lineaires...pour la conclusion, je ne sais pas si cela est correct :
En général il faut jouer avec l'associativité de
Excuse moi encore, et bravo de ne pas prendre ce qu'on (je) te dit pour argent comptant
Parfait, merci beaucoup !
