Transformée de Fourier d'une gaussienne asymétrique

[invitefc690dd0]

Bonjour à tous,

Je cherche à exprimer formellement la transformée de Fourier d'une gaussienne asymétrique, mais je bloque :

La gaussienne asymétrique est donnée par, avec le coefficient d'asymétrie :



Puisque , on en déduit que la TF de est :




Par conséquent, la TF de la gaussienne asymétrique doit s'exprimer :




mais ce produit de convolution ne converge pas, si je ne m'abuse ? Ai-je fais une erreur quelque part, ou alors ce produit de convolution peut-il se calculer ?

Merci d'avance de toute aide sur ce problème !
-----

[Armen92]

Bonjour à tous,

Je cherche à exprimer formellement la transformée de Fourier d'une gaussienne asymétrique, mais je bloque :

La gaussienne asymétrique est donnée par, avec le coefficient d'asymétrie :



Puisque , on en déduit que la TF de est :




Par conséquent, la TF de la gaussienne asymétrique doit s'exprimer :




mais ce produit de convolution ne converge pas, si je ne m'abuse ? Ai-je fais une erreur quelque part, ou alors ce produit de convolution peut-il se calculer ?

Merci d'avance de toute aide sur ce problème !

La fonction n'a de transformée de Fourier qu'au sens des distributions...
Si on veut éviter les distributions, il faut régulariser les intégrales, en mettant des aux bons endroits, et prendre les bonnes limites.
Au vu de votre dernière lgne, je devine que l'intégrale avec le terme problématique doit se régulariser en partie principale de Cauchy, mais c'est à vérifier proprement.

[invite06622527]

Bonjour,

l'intégrale en question est convergente au sens de Cauchy. Par passage au sinus hyperbolique, elle se ramème à une intégrale impropre comportant un terme du genre sinh(x)/x
Finalement, elle s'exprime avec la fonction i*erf(i*x) , ou sans passer par les complexes, grâce à la fonction de Dawson
(page jointe : un changement de notations a permis de simplifier les écritures)

[invitefc690dd0]

merci de vos réponses !

J'ai repris le problème en cherchant directement une transformée de Fourier de à partir de l'équation différentielle qu'elle vérifie, et j'obtiens :



mon problème est maintenant d'implémenter erfi en C... mais il doit bien y avoir des librairies qui font ça...

[A voir en vidéo sur Futura]