résolutions d'équations différentielles non conventionnelles

[invitea01369d3]

Bonjour a tous,

après modélisation d'un problème, j'ai obtenu une équation différentielle que je n'arrive pas à résoudre.
la voici:
u'²(t)-u(t)*u''(t)+u''(t)=0, avec t>0

on voit tout de suite que u(t)=0 ou u(t) =constante conviennent
Cependant, je n'arrive pas à trouver de solution générale.

Ni la transformée de fourrier, ni l'utilisation des séries entières n'aident à résoudre ce problème.

Dans mon malheur, j'ai regardé ce que donnait une combinaison linéaire d'exponentiel ainsi que le produit d'une fonction par une exponentiel, mais vous sous en doutez... trouve pas!

Quelqu'un aurait-il une idée??
Et je généralise ma question, existe t-il une méthode fonctionnait relativement souvent pour résoudre ce genre de problème?

Par avance merci
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[Armen92]

Bonjour a tous,

après modélisation d'un problème, j'ai obtenu une équation différentielle que je n'arrive pas à résoudre.
la voici:
u'²(t)-u(t)*u''(t)+u''(t)=0, avec t>0

1) Quelqu'un aurait-il une idée??

2) Et je généralise ma question, existe t-il une méthode fonctionnait relativement souvent pour résoudre ce genre de problème?

Par avance merci

1) Je devine que l'étoile désigne une convolution. Si tel est le cas, .
L'équation est donc du premier ordre pour . En transformant par Laplace, on obtient une équation intégrale pour la transformée de Laplace de , que je ne peux écrire en détail puisque vous n'avez pas donné les conditions (initiales ?) pour .

2) S'agissant d'une équation intégro-différentielle non-linéaire, il n'existe pas de recette miracle fonctionnant à tous les coups !

[invitea01369d3]

Bonjour Armen,

je m'excuse de ne pas avoir été très clair: * symbolise la multiplication.

Aurais-tu une idée pour résoudre mon équation??

Par avance merci

[invite06622527]

Salut,

ne pas trop se torturer la cervelle !
u'² = (u-1)u''
u'/(u-1) = u''/u'
qui s'intègre immédiatement (songer au logarithme)
Ensuite, l'équation est du premier ordre, sans difficulté.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

Bonjour Armen,

je m'excuse de ne pas avoir été très clair: * symbolise la multiplication.

Aurais-tu une idée pour résoudre mon équation??

Par avance merci

Rectification faite, votre équation est donc :
.
J'observe que
L'équation se récrit :
.
Le second membre est égal à
d'où :

dont les solutions sont... des constantes !!!

[invite06622527]

Bonjour Armen92,

attention, il y a une erreur à ta ligne "Le second membre est égal à ..."
Ton écriture correspond à u''/u au lieu de u''/u².
En corrigeant on peut arriver au bon résultat, mais la méthode que j'ai indiquée dans mon message précédent est plus simple et sans risque d'erreur.

[Armen92]

Bonjour Armen92,

attention, il y a une erreur à ta ligne "Le second membre est égal à ..."
Ton écriture correspond à u''/u au lieu de u''/u².
En corrigeant on peut arriver au bon résultat, mais la méthode que j'ai indiquée dans mon message précédent est plus simple et sans risque d'erreur.

Oui, oui, mille excuses pour cette bévue...
Votre méthde est en effet plus directe (à condition de prendre garde aux modules dans les logarithmes).

[invitea01369d3]

Merci beaucoup!!!

Effectivement, pas besoin de chercher avec Fourier, Laplace ou les séries!!!
La méthode de JJacquelin est plutôt facile, mais le tout c'est encore d'y penser.
Personnellement, je n'y étais pas!!

Encore merci à vous!!!

[krikor]

Bonjour!

y'²-yy''+y''=0

je note y'=p; y''=p*dp/dy

p/non=0; p-y*dp/dy+dp/dy=0

dp/p=dy/(y-1); ln(p/c)=ln(y-1); p=dy/dx=c(y-1)

dy/(y-1)=c*dx; ln(y-1)=cx+k

y=e^(cx+k)+1