Exposant de Lyapunov d'une trajectoire quasi-périodique

[inviteab667d05]

Bonjour,

J'ai une équation différentielle


En intégrant numériquement pour une condition initiale particulière, je visualise une trajectoire quasi-périodique. Cependant, lorsque je calcule l'exposant de Lyapunov correspondant, je trouve un exposant positif.

Est-ce que l'exposant de Lyapunov d'une trajectoire quasi-périodique est toujours négatif ou nul ?

Pour le calcul de l'exposant de Lyapunov, je rends d'abord le système autonome en introduisant une "horloge" :



Ensuite je résous numériquement le système variationnel vérifié par une perturbation :



et calcule pour grand


Est-ce bien comme ça qu'il faut procéder ?

Au début j'avais imposé (, et) et donc , on se ramène alors à :




et



et ça me donnait un exposant positif. En utilisant la première version (j'ai pris , et ), j'ai toujours un exposant positif.


Merci d'avance de votre aide.
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[Armen92]

Bonjour,

J'ai une équation différentielle


En intégrant numériquement ...........


Merci d'avance de votre aide.

Personnellement je serais très méfiant sur la discrétisation élémentaire d'un problème non-linéaire. Tout peut arriver, y compris les pires canulars...

[inviteab667d05]

Merci de la réponse,

J'ai réintégré avec un pas de temps plus petit, et j'obtiens la même trajectoire, on peut donc supposer qu'on a convergé ?

Ce que je ne comprends pas, c'est qu'en pratique, l'exposant de Lyapunov est calculé numériquement et repose sur la résolution du problème non-linéaire, laquelle est faite numériquement ... et si la trajectoire est chaotique, la trajectoire obtenue numériquement n'est pas forcément la "vraie", et ça va influencer le système variationnel et donc l'exposant de Lyapunov ... ou alors cela est déjà pris en compte dans le système linéarisé ?

En pièce jointe, la trajectoire obtenue en intégrant de t=0 à t=1000 avec un pas de temps de 0.01, et une section de Poincaré qui correspond aux positions tous les t entiers, et étant 1-périodiques dans mon cas.
On voit que la section de Poincaré est une courbe fermée, mais j'obtiens un exposant de Lyapunov positif.

Donc je me pose la question de savoir si j'ai une erreur d'implémentation ou alors ça peut arriver, surtout que je viens de lire dans "L'ordre dans le chaos" : "En revanche, si la section de Poincaré a l'apparence d'une simple courbe, c'est que l'on a affaire, ou bien à une dynamique véritablement quasi-périodique, ou bien à une dynamique apériodique fortement dissipative."

Merci encore de votre aide.

[Armen92]

Merci de la réponse,

J'ai réintégré avec un pas de temps plus petit, et j'obtiens la même trajectoire, on peut donc supposer qu'on a convergé ?

Ce que je ne comprends pas, c'est qu'en pratique, l'exposant de Lyapunov est calculé numériquement et repose sur la résolution du problème non-linéaire, laquelle est faite numériquement ... et si la trajectoire est chaotique, la trajectoire obtenue numériquement n'est pas forcément la "vraie", et ça va influencer le système variationnel et donc l'exposant de Lyapunov ... ou alors cela est déjà pris en compte dans le système linéarisé ?

En pièce jointe, la trajectoire obtenue en intégrant de t=0 à t=1000 avec un pas de temps de 0.01, et une section de Poincaré qui correspond aux positions tous les t entiers, et étant 1-périodiques dans mon cas.
On voit que la section de Poincaré est une courbe fermée, mais j'obtiens un exposant de Lyapunov positif.

Donc je me pose la question de savoir si j'ai une erreur d'implémentation ou alors ça peut arriver, surtout que je viens de lire dans "L'ordre dans le chaos" : "En revanche, si la section de Poincaré a l'apparence d'une simple courbe, c'est que l'on a affaire, ou bien à une dynamique véritablement quasi-périodique, ou bien à une dynamique apériodique fortement dissipative."

Merci encore de votre aide.

Autant dire tout de suite que je suis loin d'être un expert en systèmes dynamiques...
Ma remarque était d'ordre général : quand on discrétise sans précautions particulières un système non-linéaire, on peut obtenir une réponse n'ayant rien à voir avec le problème continu.

C'est déjà vrai quand on compare (théoriquement, avec son crayon et son papier) les solutions d'une équation différentielle non-linéaire et sa cousine en temps discret.

C'est a fortori vrai quand on utilise une machine, car s'y ajoute l'impossibilité de représenter en machine les nombres exactement. Il y a quelques exemples célèbres.

Pour le reste, il est vrai qu'il semble y avoir une contradiction entre votre exposant positif et la section de Poincaré qui a l'air bien gentille.
Si votre système est hamiltonien (pas de dissipation), il y a peut-être un bruit numérique qui introduit ipso facto une dissipation spurieuse.

Par ailleurs, pour mettre en évidence graphiquement un attracteur étrange, il faut regarder à la loupe, donc avec une très bonne résolution : êtes-vous sûr de l'avoir ?

Désolé de rester vague. J'espère qu'un expert en chaos pourra vous donner de meilleures idées...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite06622527]

Bonjour Amtagpa,

il serait peut-être judicieux de donner sur le forum les expressions explicites des fonctions F1(t,x,y) et F2(t,x,y). Cela permettrait, du moins on l'espère, de répondre de façon moins générale et plus spécifiquement à un cas particulier litigieux. J'ai l'impression que l'on parle un peu dans le vide en l'absence de données plus précises.

[inviteab667d05]

Bonjour,

Bonjour Amtagpa,

il serait peut-être judicieux de donner sur le forum les expressions explicites des fonctions F1(t,x,y) et F2(t,x,y). Cela permettrait, du moins on l'espère, de répondre de façon moins générale et plus spécifiquement à un cas particulier litigieux. J'ai l'impression que l'on parle un peu dans le vide en l'absence de données plus précises.

Vous avez raison ! Voici donc les fonctions :

et

avec



, et où Ph est une matrice de nombres aléatoires dans [0,1]. (Ph.mat en pièce jointe)

La condition initiale considérée est , .

Autant dire tout de suite que je suis loin d'être un expert en systèmes dynamiques...
Ma remarque était d'ordre général : quand on discrétise sans précautions particulières un système non-linéaire, on peut obtenir une réponse n'ayant rien à voir avec le problème continu.

C'est déjà vrai quand on compare (théoriquement, avec son crayon et son papier) les solutions d'une équation différentielle non-linéaire et sa cousine en temps discret.

Je suis d'accord, la fonction logistique ...

C'est a fortori vrai quand on utilise une machine, car s'y ajoute l'impossibilité de représenter en machine les nombres exactement. Il y a quelques exemples célèbres.

Pour le reste, il est vrai qu'il semble y avoir une contradiction entre votre exposant positif et la section de Poincaré qui a l'air bien gentille.
Si votre système est hamiltonien (pas de dissipation), il y a peut-être un bruit numérique qui introduit ipso facto une dissipation spurieuse.

Par ailleurs, pour mettre en évidence graphiquement un attracteur étrange, il faut regarder à la loupe, donc avec une très bonne résolution : êtes-vous sûr de l'avoir ?

Le système est effectivement un système hamiltonien, si on intègre en plus , alors on a un Hamiltonien qui se conserve le long de la trajectoire H=E+V. Sur la trajectoire obtenue, je trouve une variation (H-H(t=0)) qui décroît de 0 à -10^(-8) sur tout le temps d'intégration.

Je travaille avec Scilab, et c'est vrai que je ne me suis pas trop posé les questions de précision et de résolution.

Désolé de rester vague. J'espère qu'un expert en chaos pourra vous donner de meilleures idées...

Non mais ma question était vague aussi.


J'espère qu'avec les données concrètes, je pourrais trouver de l'aide.
Merci encore à vous deux pour vos réponses.