Bonjour,
j'ai un petit problème avec la partie réel de certaines exponentielles complexes dans la résolution d'équations différentielles.
Si on a A.e^(3it) + B.e^(-3it) avec A et B qui appartiennent à l'ensemble des réels. La partie réel est A cos(3t) + B sin(3t).
Alors que moi j'aurais eu tendance de mettre A cos(3t) + B cos(3t). D'où vient le sinus?
Voilà, un grand merci à vous.
Coco5
pas de sinus et bien deux cosinus.
Ce serait bien ça!!
En êtes vous bien sur? Parce que dans mon cour il est écrit plusieurs fois que c'était un sin et un cos!
C'est juste pour être sur, rien d'autre
Est-ce que ce ne serait pas : "Si on a A.e^(3it) + i B.e^(-3it)" ?
Je vais reprendre l'exemple dans lequel se trouve le problème, ce sera plus simple
On a l'équation y''+2y=sin(t) et on veut toutes les solutions réelles.
Son polynôme caractéristique est donc x²+2.
Ses raçines sont i.2^(1/2) et -i.2(1/2).
Donc pour la solution de l'équation homogène on a la partie réelle de
A.e^(i.2^(1/2)) + B.e^(-i.2^(1/2)) où A et B qui appartiennent à R.
La partie réelle est A.cos(2t^(1/2)) + B.sin(2t^(1/2)). Est-ce juste?
OK j'ai compris votre erreur : les nombres A et B sont complexes.
Je suis désolé mais je vois toujours pas comment on arrive au final à A.cos(2t^(1/2)) + B.sin(2t^(1/2)).
Si A et B sont complexes, on peut les remplacer par a+bi et c+di. On distribue avec tout les cos et les sin et j'obtiens 4 termes. On peut mettre en évidence et on a (a+c) cos (t.2^(1/2)) + (-b+d) sin (t.2^(1/2)). C'est malheureusement pas tout à fait la même chose...
J'ai l'impression de faire une bête faute mais je me rends pas compte :s
Je pensais que les autres erreurs n'étaient que typographiques.
Non :Son polynôme caractéristique est donc x2+2.
Ses raçines sont i.2^(1/2) et -i.2(1/2).
Donc pour la solution de l'équation homogène on a la partie réelle de
A.e^(i.2^(1/2)) + B.e^(-i.2^(1/2)) où A et B qui appartiennent à R.
Ses racines sont i.21/2 et -i.21/2.
Donc pour la solution de l'équation homogène, on a la partie réelle de
A.exp(i.21/2t) + B.exp(-i.21/2t), où A et B appartiennent à C.
Pourquoi voulez-vous que l'on trouve du t1/2 sous l'exponentielle ?
En faite, il n'y a pas de racine de t. C'est trompeur noté à l'odinateur mais c'est t . raçine de 2.
J'ai donc bien prit comme vous le notez
A.exp(i.2^(1/2t)) + B.exp(-i.2^(1/2)t), où A et B appartiennent à C et j'ai remplacé A par a+bi et B par c+di. J'ai aussi décomposé les exponentielles en cos et sin et j'ai distribué le tout. En enlevant toutes les parties avec du i, j'obtiens:
(a+c) cos (2^(1/2).t) + (-b+d) sin (2^(1/2).t).
Donc je n'obtiens pas tout à fait A.cos(...) + B.sin(...).
Suis-je plus clair comme ça ou pas
Là vous êtes bête.
Les lettres représentant les constantes n'ont aucune importance.
Vous obtenez bien un réel multiplié par le cosinus + un autre réel multiplié par le sinus.
Vous obtenez bien une expression de la forme A.cos(21/2t) + B.sin(21/2.t) où A et B sont réels (ce ne sont pas les mêmes A et B complexes d'origine).
Oups, évidemment :s !! C'est le faite d'utiliser pour les deux fois A et B qui m'a induit en erreur.
Merci beaucoup pour votre patience, c'est très gentil à vous!
Une excellente fin de we
