Intégrale complexe

[Bartolomeo]

Bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour calculer ces 2 integrales sans la méthode des résidus:

avec
et



Cordialement.
Bart
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[Armen92]

Bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour calculer ces 2 integrales sans la méthode des résidus:

avec
et



Cordialement.
Bart

1) Il suffit de paramétrer avec et . On obtient une fraction rationnelle de lignes trigonométrique, et c'est standard.
Mais ça, c'est la méthode pour les masos : avec les résidus, il suffit d'une demi-ligne...
2) On développe en série l'exponentielle, on paramétrise avec et , et c'est reparti pour un tour de masochisme.

Cauchy doit se retourner dans sa tombe : pourquoi avoir démontré tant de théorèmes géniaux !?

[Bartolomeo]

merci pour les tuyaux! Je vais essayer ca!

Le but est sans doute de montrer a quel point le théorème des résidus est utile. Puisque c´est le thème du chapitre suivant.

[Bartolomeo]

Ce n´est pas la méhode qui est demandé dans l´exercice, mais serait il possible de me montrer comment calculer ces intégrales avec le théorème des résidus, histoire de voir le contraste avec l´autre méthode.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

Ce n´est pas la méhode qui est demandé dans l´exercice, mais serait il possible de me montrer comment calculer ces intégrales avec le théorème des résidus, histoire de voir le contraste avec l´autre méthode.

Cordialement.

1) Un pôle d'ordre 1 dans le cercle ; l'intégrale vaut le résidu, soit .
2) Une singularité essentielle en , à l'intérieur du cercle. On écrit :

et on va chercher tous les termes en après avoir développé l'exponentielle en série. Ensuite, c'est de l'algèbre toute simple, et on trouve que l'intégrale vaut .

[Bartolomeo]

1) Il suffit de paramétrer avec et . On obtient une fraction rationnelle de lignes trigonométrique, et c'est standard.
Mais ça, c'est la méthode pour les masos : avec les résidus, il suffit d'une demi-ligne...
2) On développe en série l'exponentielle, on paramétrise avec et , et c'est reparti pour un tour de masochisme.

Cauchy doit se retourner dans sa tombe : pourquoi avoir démontré tant de théorèmes géniaux !?

Et mince j´ai perdu la main
C´est quoi le jacobien avec ces paramètres?

[Armen92]

Et mince j´ai perdu la main
C´est quoi le jacobien avec ces paramètres?

Bon, on peut prendre un canon pour tuer une mouche, mais ça ne marche pas à tous les coups.
Pour un cercle de rayon centré en , , d'où , point barre.