intégrale d'une exponentielle complexe

[invitebbacd1b5]

bonjour,

je cherche à savoir est-ce qu'il existe une solution analytique pour intégrer la fonction suivante :

exp[ - K*x^2 ] * exp[ -i*M * x ]

K, M étant des constantes
L'intégration doit se faire entre 0 et infini.

Même si je développe l'exponentielle complexe en :

cos(M * x) - i * sin(M * x)

je vois pas quoi faire ensuite (par parties c'est pas possible, à cause de la gaussienne ..) ??
est-ce que quelqu'un aurait une idée ?

merci d'avance pour les éventuelles réponses
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[invite63e767fa]

Salut,
c'est la transformée de Fourier de exp(-k*x^2)
Pour la partie réelle, il n'y a pas trop de difficulté.
Pour la partie imaginaire, c'est à voir : à priori, on peut penser à l'exprimer avec une fonction hypergéométrique. Mais qui pourrait peut-être se réduire à une fonction de plus bas niveau.
Affaire à suivre ...

[Armen92]

bonjour,

je cherche à savoir est-ce qu'il existe une solution analytique pour intégrer la fonction suivante :

exp[ - K*x^2 ] * exp[ -i*M * x ]

K, M étant des constantes
L'intégration doit se faire entre 0 et infini.

Même si je développe l'exponentielle complexe en :

cos(M * x) - i * sin(M * x)

je vois pas quoi faire ensuite (par parties c'est pas possible, à cause de la gaussienne ..) ??
est-ce que quelqu'un aurait une idée ?

merci d'avance pour les éventuelles réponses

Comme l'intégrale va de 0 à (et non de à ), ce n'est pas la transformée de Fourier d'une gaussienne.
Le résultat s'exprime à l'aide de la fonction erreur définie comme :

Si , et sauf erreur de calcul, le résultat est :

[invite63e767fa]

je cherche à savoir est-ce qu'il existe une solution analytique pour intégrer la fonction suivante :

exp[ - K*x^2 ] * exp[ -i*M * x ]

K, M étant des constantes
L'intégration doit se faire entre 0 et infini.

Même si je développe l'exponentielle complexe en :

cos(M * x) - i * sin(M * x)

En page jointe, les notations a=K et y=M :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Il faut signaler qu'un signe - a été oublié en recopiant la dernière formule précédente : c'est exp(-X²) au lieu de exp(X²).

[invitebbacd1b5]

Le résultat s'exprime à l'aide de la fonction erreur définie comme :

Si , et sauf erreur de calcul, le résultat est :

bonjour,
merci beaucoup à tous les deux pour ces réponses rapides !

J'ai regardé un peu l'explication wiki sur la fonction erreur
mais je vois pas trop comment on se sert de sa déf pour obtenir ce résultat ..

Armen92, est-ce que tu pourrais, stp, esquisser un début de développement (vraiment, juste de quoi partir la démo) ?

désolé d'insister
j'aimerais bien comprendre

[Armen92]

bonjour,
merci beaucoup à tous les deux pour ces réponses rapides !

J'ai regardé un peu l'explication wiki sur la fonction erreur
mais je vois pas trop comment on se sert de sa déf pour obtenir ce résultat ..

Armen92, est-ce que tu pourrais, stp, esquisser un début de développement (vraiment, juste de quoi partir la démo) ?

désolé d'insister
j'aimerais bien comprendre

Oui, je peux.
Je suppose et pour simplifier (mais on peut prolonger analytiquement en faisant attention).
1) on pose , d'où, à des facteurs près, l'intégrale sur
2) on complète le carré :
3) à un facteur près, on tombe sur l'intégrale qui est égale à :

4) Cette intégrale est égale à :

La première intégrale vaut , la seconde est , d'où le résultat.
A vous de restituer tous les bons facteurs que j'ai omis.

[invitebbacd1b5]

woah super, c'est très clair maintenant.
le facteur manquant était exp[-a^2]/sqrt(K)
et ton a est simplement M/2*sqrt(K)

merci beaucoup pour cette explication et pour le temps consacré !