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intégrale d'une exponentielle complexe



  1. #1
    zadaci

    intégrale d'une exponentielle complexe


    ------

    bonjour,

    je cherche à savoir est-ce qu'il existe une solution analytique pour intégrer la fonction suivante :

    exp[ - K*x^2 ] * exp[ -i*M * x ]

    K, M étant des constantes
    L'intégration doit se faire entre 0 et infini.

    Même si je développe l'exponentielle complexe en :

    cos(M * x) - i * sin(M * x)

    je vois pas quoi faire ensuite (par parties c'est pas possible, à cause de la gaussienne ..) ??
    est-ce que quelqu'un aurait une idée ?

    merci d'avance pour les éventuelles réponses

    -----

  2. #2
    invite06622527

    Re : intégrale d'une exponentielle complexe

    Salut,
    c'est la transformée de Fourier de exp(-k*x^2)
    Pour la partie réelle, il n'y a pas trop de difficulté.
    Pour la partie imaginaire, c'est à voir : à priori, on peut penser à l'exprimer avec une fonction hypergéométrique. Mais qui pourrait peut-être se réduire à une fonction de plus bas niveau.
    Affaire à suivre ...

  3. #3
    Armen92

    Re : intégrale d'une exponentielle complexe

    Citation Envoyé par zadaci Voir le message
    bonjour,

    je cherche à savoir est-ce qu'il existe une solution analytique pour intégrer la fonction suivante :

    exp[ - K*x^2 ] * exp[ -i*M * x ]

    K, M étant des constantes
    L'intégration doit se faire entre 0 et infini.

    Même si je développe l'exponentielle complexe en :

    cos(M * x) - i * sin(M * x)

    je vois pas quoi faire ensuite (par parties c'est pas possible, à cause de la gaussienne ..) ??
    est-ce que quelqu'un aurait une idée ?

    merci d'avance pour les éventuelles réponses
    Comme l'intégrale va de 0 à (et non de à ), ce n'est pas la transformée de Fourier d'une gaussienne.
    Le résultat s'exprime à l'aide de la fonction erreur définie comme :

    Si , et sauf erreur de calcul, le résultat est :
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  4. #4
    invite06622527

    Re : intégrale d'une exponentielle complexe

    je cherche à savoir est-ce qu'il existe une solution analytique pour intégrer la fonction suivante :

    exp[ - K*x^2 ] * exp[ -i*M * x ]

    K, M étant des constantes
    L'intégration doit se faire entre 0 et infini.

    Même si je développe l'exponentielle complexe en :

    cos(M * x) - i * sin(M * x)
    En page jointe, les notations a=K et y=M :
    Images attachées Images attachées  

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite06622527

    Re : intégrale d'une exponentielle complexe

    Il faut signaler qu'un signe - a été oublié en recopiant la dernière formule précédente : c'est exp(-X²) au lieu de exp(X²).

  7. #6
    zadaci

    Re : intégrale d'une exponentielle complexe

    Citation Envoyé par Armen92 Voir le message
    Le résultat s'exprime à l'aide de la fonction erreur définie comme :

    Si , et sauf erreur de calcul, le résultat est :
    bonjour,
    merci beaucoup à tous les deux pour ces réponses rapides !

    J'ai regardé un peu l'explication wiki sur la fonction erreur
    mais je vois pas trop comment on se sert de sa déf pour obtenir ce résultat ..

    Armen92, est-ce que tu pourrais, stp, esquisser un début de développement (vraiment, juste de quoi partir la démo) ?

    désolé d'insister
    j'aimerais bien comprendre

  8. #7
    Armen92

    Re : intégrale d'une exponentielle complexe

    Citation Envoyé par zadaci Voir le message
    bonjour,
    merci beaucoup à tous les deux pour ces réponses rapides !

    J'ai regardé un peu l'explication wiki sur la fonction erreur
    mais je vois pas trop comment on se sert de sa déf pour obtenir ce résultat ..

    Armen92, est-ce que tu pourrais, stp, esquisser un début de développement (vraiment, juste de quoi partir la démo) ?

    désolé d'insister
    j'aimerais bien comprendre
    Oui, je peux.
    Je suppose et pour simplifier (mais on peut prolonger analytiquement en faisant attention).
    1) on pose , d'où, à des facteurs près, l'intégrale sur
    2) on complète le carré :
    3) à un facteur près, on tombe sur l'intégrale qui est égale à :

    4) Cette intégrale est égale à :

    La première intégrale vaut , la seconde est , d'où le résultat.
    A vous de restituer tous les bons facteurs que j'ai omis.
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  9. #8
    zadaci

    Re : intégrale d'une exponentielle complexe

    woah super, c'est très clair maintenant.
    le facteur manquant était exp[-a^2]/sqrt(K)
    et ton a est simplement M/2*sqrt(K)

    merci beaucoup pour cette explication et pour le temps consacré !

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