Polyèdres réguliers convexes

[prgasp77]

Bonjour à tous.
Les points dont l'affixe vérifie sont les sommets d'un -polygone régulier convexe.

J'aimerais savoir s'il est possible de construire un polyèdre convexe régulier d'une manière analogue. Peut-être cela n'est-il pas possible dans un espace à trois dimensions, mais en quatre ? huit ? ... ?

Merci de votre aide.
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[breukin]

En dimension 3, il y a 5 polyèdres réguliers convexes (et 4 non convexes).
En dimension 4, il y en a 6, et en dimensions supérieures, il n'y en a plus que 3.
Le nombre étant toujours fini, il n'y aura pas d'équation générique du même type qu'en dimension 2, donnant une infinité de solutions.

[prgasp77]

En dimension 3, il y a 5 polyèdres réguliers convexes.

Ha ? j'en compte 6 : les polyèdres à 4-6-8-12-20-60 faces. Lequel des six n'en est pas ?

[Médiat]

Ha ? j'en compte 6 : les polyèdres à 4-6-8-12-20-60 faces. Lequel des six n'en est pas ?

Salut prgasp77 (depuis le temps )
Il existe des polyèdres semi-réguliers à 60 faces, mais pas de régulier (4, 6, 8, 12, 20 uniquement).

[A voir en vidéo sur Futura]

[prgasp77]

mmh ? Je dois mal le voir alors.
Partons du dodécaèdre, ses faces sont des pentagones réguliers. Nommons et deux sommets voisins d'un de ces pentagones, et la droite orthogonale à cette face passant par son centre. N'existe-t-il pas sur un point tel que soit equilatéral ? Si oui, pourquoi cette construction n'engendre-t-elle pas un polyèdre régulier à 60 (12x5) faces ?

(Oui j'avais fait une petite pause ... mais je lisais toujours quelques sujets de ce forum de temps à autres )

[prgasp77]

Ha, peut-être n'est-il plus convexe ...

[breukin]

Polyèdre régulier : toutes les faces sont des polygones réguliers identiques, et tous les sommets sont sur une même sphère (je pense que c'est suffisant).
Il y en a 5 convexes : tétra, hexa, octa, dodéca et icosaèdre.
Et 4 non convexes : 2 dont les faces sont convexes : docécaèdre croisé (12 faces penta) et icosaèdre croisé (20 faces tri) ; et deux dont les faces ne sont pas convexes (pentagrammes) : "petit" et "grand" docédaèdres étoilés (12 pentagrammes chacun).

Polyèdre uniforme : toutes les faces sont des polygones réguliers non nécessairement identiques, et tous les sommets sont sur une même sphère et sont semblables (même ordonnancement des faces dans le sommet) (sans cette dernière condition, on ajoute deux polyèdres un peu bancals). On se limite aussi à deux faces par arête, sinon on en rajoute aussi un autre.
Là on en a (hormis les familles infinies des prismes) 75 en tout (y compris les réguliers) et on en ajoute 13 convexes.

Note : les duaux des uniformes sont des polyèdres dont toutes les faces sont identiques, mais pas des polygones réguliers (sauf pour les polyèdres réguliers qui sont duaux deux à deux -voire auto-dual-). Leurs sommets ne sont pas sur une même sphère.

[prgasp77]

Tout s'explique, merci bien.