Espérance conditionnelle à une tribu

[inviteb7ae782a]

Pouvez-vous m'aider à résoudre ce problème?

Soit M contenu dans A une sous-tribu de A et X appartenant à L2(A) , une v.a. reelle carre-integrable. On definit la variance de X conditionnelle a M par V (X | M) = E [ (X- E [ X | M ) ]² | M ]

a) Montrer que V (X | M) = E [X² | M ] - ( E(X|M))²
En deduire que E (X | M)2 < E [X² | M) et qu'il y a egalite si et
seulement si X appartient à L2 (M) .

b) Montrer que V (X ) = E [ V (X | M) ] + V [E (X | M) ]
En deduire que V [E (X | M) ] <= V (X ) . Quand y a-t-il egalite ?

Merci beaucoup d'avance!!!
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[invite986312212]

salut,

pour a) en fait tu connais déjà cette formule pour la variance "inconditionnelle". Elle découle de la linéarité de l'espérance et du fait que E(E(X))=E(X).
Ces deux propriétés restent vraies pour l'espérance conditionnelle (prouve-les!) d'où le résultat.