Calcul de valeurs propres sans polynôme caractéristique

[invite4d6ace4d]

Bonjour,

Je dois calculer les valeurs propres d'une matrice sans passer par le polynome caractéristique (det(A-lId)).
La matrice en question est une matrice 3*3 avec que des 1 partout.
Je sais faire en calculant le polynome caractéristique, mais comment faire sans ?


Et j'en profite au passage pour une seconde question :
j'ai, par exemple, une matrice B exprimée dans la base canonique qui représente une projection sur un plan parallèlement à une droite. Comment faire pour trouver une matrice P de passage pour exprimer B dans une autre base ?


Merci pour votre aide !
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[invitec7c23c92]

Bonjour,

Ben par exemple A n'est pas inversible.
D'autre part ça fait quoi si on la multiplie par le vecteur (1 1 1) ?

[invite4d6ace4d]

En effet, A n'est pas inversible. Mais le fait de ne pas être inversible n'empêche pas d'avoir des valeurs propres, non ?
A moins que je n'ai vraiment rien compris ...

[invite1e1a1a86]

si A n'est pas inversible alors on connait facilement une de ses valeurs propres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sylvainc2]

Si elle est pas inversible c'est qu'elle a 0 comme vp, en fait ici elle a deux fois 0, l'autre vp est trouvée en multipliant par (1,1,1) comme l'a dit telchar.

En général une matrice nxn pleine de 1 va avoir n-1 fois 0 comme vp car il y a n-1 vecteurs colonnes liés, et l'autre vp. est ....

Pour l'autre question, si tu mets les vecteurs de l'autre base dans les colonnes d'une matrice Q, celle-ci est la matrice de passage de l'autre base à la base canonique, et P = Q^-1 est la matrice de passage de la base canonique à l'autre base.

[invite4d6ace4d]

Merci infiniment

[invite6f25a1fe]

l'autre vp est trouvée en multipliant par (1,1,1) comme l'a dit telchar.

... ou en prenant directement la trace, c'est encore plus simple

[invite4d6ace4d]

Pourquoi ? il y a un lien entre la trace et les valeurs propres d'une 3x3 ?

[invitec7c23c92]

La trace est la somme des valeurs propres (ça se voit bien en prenant une matrice diagonale)

[invite6f25a1fe]

Plus généralement, les valeurs propres étant les racines du polynome caractéristique, et ce polynome ayant certains coefficients connus, on peut utiliser les relations coefficients/racines pour trouver des liens entre les vp.

Par exemple :
tr(A)=somme des valeurs propres de A = L1+L2+L3
det(A)=produit des valeurs propres de A = L1.L2.L3
tr(Com(A))=somme des produits 2 à 2 des valeurs propres de A = L1.L2+L1.L3+L2.L3

Ton cas ayant L1=L2=0, la dernière vp est directement donnée par la trace de ta matrice. C'est d'ailleurs toujours le cas pour les matrices de rang 1 comme ta matrice ici, même en dimension N : les vp seront 0 de multiplicité N-1, et tr(A) de multiplicité 1. Ta matrice A sera diagonalisable si et seulement si tr(A) est différent de 0.

[invite4d6ace4d]

Ok je comprends mieux maintenant. Merci beaucoup