inégalité à prouver

[invite34b13e1b]

Bonjour,

en concidérant A une symétrique rélle non nulle, je n'arrive pas à établir l'inégalité suivante:



Pour l'instant j'ai juste pensé à:
_ appliquer l'inégalité arithmético géométrique à tr(A²) (ac A² dans Sn^+(R) dc diagonalisable à vp positives).
_ appliquer cauchy schwartz sur tr(A) pour retrouver une somme de termes positifs.

A priori ce n'est pas la bonne méthode, parce que j'aboutis à une somme d'un produit difficile à relier avec le rang de A...

Poouvez-vous me guider pour établir cette égalité: en fait j'arrive pas à faire apparaître le rang dans les majorations.

Merci
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[invited6ae7662]

On est daccord que rang(A) = n

[invited6ae7662]

Soit a1, ..., aN les valeurs propres de A avec a1, ..., aN >= 0

tr(A)² = ( a1 + ... + aN )² = a1² + ... + aN² + 2 * ( les doubles produits )

Faudrait arriver à majorer les doubles produits par ( N - 1 ) * ( a1² + ... + aN )

[invite34b13e1b]

euh j'chui pas trop chaud pour rg(A)=n... à moins que tu ne vois pas n comme la dimension de E.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited6ae7662]

De plus,

2 a1 a2 =< a1² + a2 ²

etc etc

Comme a1 apparait N-1 fois, tu vas avoir ( N - 1 ) * a1 ²
Idem pour a2, ... , aN

On obtient bien légalité demandée

( Désolée d'avoir saccadé ma réponse )

[invited6ae7662]

euh j'chui pas trop chaud pour rg(A)=n... à moins que tu ne vois pas n comme la dimension de E.

en fait, rg(A) = n si 0 n'est pas valeur propre

Si 0 est valeur propre d'ordre p, on a rg(A) = n - p

et le raisonnement est exactement le meme

[invite34b13e1b]

ok on retire les termes ac les vp égales à 0 quoi...

[invited6ae7662]

ok on retire les termes ac les vp égales à 0 quoi...

Voila, c'est exactement sa

[invite34b13e1b]

ok ca marche le feu de dieu cette affaire merci beaucoup!

Un peu la honte d'y etre aller avec des grosses majorations pour rien ^^

[invited6ae7662]

Ya rien de mieux que nos vieilles identités remarquables !