prouver une inégalité

[invitef4688192]

Bonsoir à tous

Voici une inégalité que je n'arrive pas à prouver... ou du moins qu'à moitié...

Tout d'abord il faut prouver que pour tout t dans [1; 1+a ] :
1/ (1+a) < (1/t) < 1
Jusque là pas de problème ^^

ensuite à partir de cette inégalité il faut en déduire que :

(a/1+a) < ln(1+a) < a


alors j'ai une petite idée mais elle n'aboutit pas vraiment...
j'ai penser à utiliser les primitives.. puisque cette question se trouve dans un exercice sur les intégrales...
la primitive de 1/(1+a) est ln(1+a) et la primitive de 1 est a
et comme on sait que 1/(1+a)<1 on pourrait dire que ln(1+a)<a non??
cette idée ne me plait pas vraiment puisque je n'ai jamais appris à déduire ce genre d'inégalité avec des primitives...
Ce raisonnement est certainement faux...
et puis même en utilisant des primitives je n'arrive pas à prouver le début de l'inégalité... a/(1+a) < ln(1+a)
besoin d'un peu d'aide svp....

Merci d'avance
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[Flyingsquirrel]

Salut,

ensuite à partir de cette inégalité il faut en déduire que :

(a/1+a) < ln(1+a) < a


alors j'ai une petite idée mais elle n'aboutit pas vraiment...
j'ai penser à utiliser les primitives.. puisque cette question se trouve dans un exercice sur les intégrales...
la primitive de 1/(1+a) est ln(1+a) et la primitive de 1 est a
et comme on sait que 1/(1+a)<1 on pourrait dire que ln(1+a)<a non??

Oui, c'est correct. On sait que pour on a donc (on appelle ça la « croissance de l'intégrale »).

et puis même en utilisant des primitives je n'arrive pas à prouver le début de l'inégalité... a/(1+a) < ln(1+a)

Même idée : intègre !

[invitef4688192]

Salut,

Oui, c'est correct. On sait que pour on a donc (on appelle ça la « croissance de l'intégrale »).

Même idée : intègre !

Merci beaucoup maintenant je comprend mieux comment utiliser les primitives pour les inégalités...

j'ai réussi à prouver plusieurs inégalités avec cette méthode mais pas celle qu'il faut... ^^'
prouver que ln(1+a) < a était assez simple en fait maintenant que j'ai compris la méthode... puisque les primitives correspondent à l'inégalité qu'on prouve juste avant 1/t < 1
mais pour l'autre parti de l'inégalité.. a/(1+a) < ln(1+a)
plus dur...
j'ai essayé d'intégrer mais ça ne marche pas puisque la primitive ne colle pas...
une petite aide pour débloquer svp...

Et merci

[Flyingsquirrel]

mais pour l'autre parti de l'inégalité.. a/(1+a) < ln(1+a)
plus dur...
j'ai essayé d'intégrer mais ça ne marche pas puisque la primitive ne colle pas...

Si, si, ça colle. L'intégrale vaut effectivement . Est que tu n'aurais pas oublié que l'on intègre par rapport à , et que par conséquent est une constante ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4688192]

Est que tu n'aurais pas oublié que l'on intègre par rapport à , et que par conséquent est une constante ?

oui en effet...
ça marche très bien cette méthode ^^'

Merci beaucoup
et bonne soirée