Bonjour,
On considere u appartenant à L(3n) de dimension 9n² tel que
rang ( u² ) = n
u^3 = 0
On me demande de déterminer la dimension du commutant de u
ie L'ensemble des v appartenant à L(3n) tel que u o v = v o u
J'ai exprimé u dans une base interessante et j'ai démontré que la matrce de v dans cette base comporte au maximun 3n² coeffients.
Peut on conclure que dim(Co(u)) = 3n² ? Merci
"comporter au maximum 3n² coef" est une expression vague, dans la mesure où déjà, une telle matrice possède nécessairement 9n² coefficients.
Mais la manière dont tu le dis laisse penser que tu n'obtiens qu'une inégalité sur la dimension du commutant. Expose ton raisonnement et nous pourrons te dire si ce que tu as fait est correct, et surtout si ça permet de conclure avec une égalité
Il faut mettre, je pense mais je n'ai pas fait le calcul, la matrice de u sous la forme d'une matrice qui ne comporte que 2n coefficients non nuls, tous situés juste au dessus de la diagonale, puis faire le calcul formel UV et VU, pour voir les conditions imposées à V pour que VU=UV, et montrer que ces conditions, a priori uniquement nécessaires sont en fait aussi suffisantes (normalement évident)
Voici mon raisonnement :
rg( u² ) = n => dim ( Im ( u² ) ) = n et dim ( Ker ( u² ) ) = 2n
u^3 = 0 => Im ( u² ) C Ker ( u² )
Soit ( u²(e1), ... , u²(en) ) une base de Im( u² )
Soit ( u²(e1), ... , u²(en), b1, ..., bn ) une base de Ker( u² )
On prend B = ( u²(e1), ... , u²(en), b1, ..., bn, u(e1), ... , u(en) )
B est une famille de 3n vecteurs
De plus B est libre ( en composant par u, on montre que tous les Lambdas sont nulles )
On écrit u dans cette base B :
0n 0n In
---------------------------------------
0n 0n 0n
---------------------------------------
0n 0n 0n
Soit v appartenant à Co(u),
Mat(v,B) =
An Cn En
Bn Dn 0n
0n 0n 0n
UV=VU => An = Bn = Fn = 0
Réciproquement, OK
Donc Mat(v,B) =
0n Cn En
0n Dn 0n
0n 0n 0n
Voila
Salut,
dans ta base B, lessont tels que
D'ailleurs, tu n'utilises pas réellement dans ta démo que u^3=0, mai plutôt que u^4=0, ce qui est certes vrai, mais pas aussi intéressant que ce que donne l'énoncé.
il faudrait sans doute plutôt prendre la famille
Exact, bonne remarque, mais on est daccord que :
u(e1), ..., u(en) appartient à Ker ( u ) ?
( car sinon on obtient une matrice de rang 2n )
----------------------
Grosse erreur, si ces vecteurs appartiennent à ker ( u ), u²(ei ) = 0 ...
si u(e1), ..., u(en) appartient à Ker ( u ), alors, u²(e1)=0=...=u²(en)...alors que justement, on choisit nos vecteurs pour que ceux ci soient non nuls...
Effectivement, en composant par u² puis en composant par u,
( u²(e1), ... , u²(en), u(e1), ... , u(en) , e1, ..., en ) est bien une base de E
Le probleme est que la matrice de u dans cette base est :
0n In 0n
0n 0n In
0n 0n 0n
qui est une matrice de rang 2n
Doit y avoir quelque chose qui m'echappe ...
C'est bon, c'est U² qui doit être de rang n
Donc il n'y a plus de problemes, je vais essayer de trouver une condition sur V maintenant, merci !
en écrivant V = mat ( v, B ), on obtient
An Bn Cn
0n An Bn
0n 0n An
Peut-on conclure dim(Co(u)) = 3n² ?
