Automatique: schema explicite - implicite

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,

J'ai une question d'ordre général sur les schemas d'integration d'equations différentielle:

1°) J'ai entendu que les schéma de type implicite etaient plus stables que les explicite mais je ne sais pas si cela est vrai dans le cas général ou juste pour un cas particulier

2°) Ensuite j'aimerai savoir quel est le type de schema le plus rapide entre les deux pour resoudre le probleme.
J'ai cru comprendre que c'etait l'explicite le plus rapide sauf pour des simulations sur des temps assez long...

3°) La derniere chose que j'ai entendu est que certains schema sont plus approprié pour les systemes raides, par contre je ne sais pas lesquels c'est et ni pourquoi...

J'espere que vous pourrez repondre à toutes mes interrogations et me preciser pourquoi , c'est à dire me donner egalement les reponses du point de vu theorique.

Merci
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[invite9c7554e3]

J'ai une autre question:

Es ce qu'un de ces deux type de schéma et mieux recommandé pour la résolution d'équations non linéaire? et si oui pourquoi?

[PA5CAL]

Bonsoir

Il ne t'a sûrement pas échappé que nous sommes ici sur le forum «Électronique», et pas «Mathématiques» ni «Informatique».

Or, les "schémas" dont tu parles se rapportent à des concepts purement mathématiques, et non pas à des schémas électroniques (qui ne font, sans plus de détail, pas de distinction entre «implicite» et «explicite»).

Si tu veux avoir des réponses ici, il faudrait que tu précises le type d'applications physiques auxquelles se rapportent les systèmes d'équations différentielles dont tu parles, ou bien que tu explicites le contexte (au moins sémantique) que ta question... À moins que ton problème n'ait strictement rien à voir avec l'électronique ?

.

[invite9c7554e3]

Bonsoir

Il ne t'a sûrement pas échappé que nous sommes ici sur le forum «Électronique», et pas «Mathématiques» ni «Informatique».

Or, les "schémas" dont tu parles se rapportent à des concepts purement mathématiques, et non pas à des schémas électroniques (qui ne font, sans plus de détail, pas de distinction entre «implicite» et «explicite»).

Si tu veux avoir des réponses ici, il faudrait que tu précises le type d'applications physiques auxquelles se rapportent les systèmes d'équations différentielles dont tu parles, ou bien que tu explicites le contexte (au moins sémantique) que ta question... À moins que ton problème n'ait strictement rien à voir avec l'électronique ?

.

Bonjour,

Merci PASCAL d'avoir repondu, en faite mon probleme n'a rien avoir avec de l'electronique, c'est plus un cas general de l'automatique que j'essai de comprendre.

Je me suis peut etre tromper de forum, je ne savais pas trop où mettre ce message pour que des automaticiens me repondent...

Je vais le faire deplacer...

merci quand meme

[A voir en vidéo sur Futura]

[gienas]

Bonjour à tous

Discussion déplacée depuis le forum d'électronique.

[invite6f25a1fe]

Bonjour tous,

J'ai une question d'ordre général sur les schemas d'integration d'equations différentielle:

1°) J'ai entendu que les schéma de type implicite etaient plus stables que les explicite mais je ne sais pas si cela est vrai dans le cas général ou juste pour un cas particulier

2°) Ensuite j'aimerai savoir quel est le type de schema le plus rapide entre les deux pour resoudre le probleme.
J'ai cru comprendre que c'etait l'explicite le plus rapide sauf pour des simulations sur des temps assez long...

3°) La derniere chose que j'ai entendu est que certains schema sont plus approprié pour les systemes raides, par contre je ne sais pas lesquels c'est et ni pourquoi...

J'espere que vous pourrez repondre à toutes mes interrogations et me preciser pourquoi , c'est à dire me donner egalement les reponses du point de vu theorique.

Merci

Commence avec l'outil recherche du forum, on a eu au moins 2 ou 3 topics sur le sujet cette année.

Pöur le cas général, je ne m'avancerai pas trop, mais pour les schémas classiques comme le Euler, alors oui, l'implicite est plus stable que l'explicite. En fait, on peut montrer dans le schéma explicite qu'il est stable sous une certaine condition (dite condition CFL). Cette condition est de la forme

Or ton est donné par la résolution en x que tu souhaites obtenir (donc en général, ce terme est petit). Tu vois donc que la présence d'une condition CFL t'impose de prendre un très petit (tu ne peux pas le choisir n'importe comment, car si tu ne respectes pas la condition CLF, tu ne seras plus stable est donc tu n'auras plus convergence !).

Donc au final, pour simuler un problème type crash, c'est pas trop pénible d'avoir un temps petit car le phénomène est bref. Par contre, si tu souhaite modéliser un phénomène long, alors la ton temps très petit, va devenir très contraignant !

[invite9c7554e3]

merci scorp de prendre le temps de repondre

Commence avec l'outil recherche du forum, on a eu au moins 2 ou 3 topics sur le sujet cette année.

en faite j'ai deja regardé sur le forum, c'est moi d'ailleurs qui avait deja posé de nombreux topic, mais ici je ne veux pas des reponses sur des cas particulier mais je voudrais avoir des reponses dans le cas general...

Pöur le cas général, je ne m'avancerai pas trop, mais pour les schémas classiques comme le Euler, alors oui, l'implicite est plus stable que l'explicite. En fait, on peut montrer dans le schéma explicite qu'il est stable sous une certaine condition (dite condition CFL). Cette condition est de la forme

Or ton est donné par la résolution en x que tu souhaites obtenir (donc en général, ce terme est petit). Tu vois donc que la présence d'une condition CFL t'impose de prendre un très petit (tu ne peux pas le choisir n'importe comment, car si tu ne respectes pas la condition CLF, tu ne seras plus stable est donc tu n'auras plus convergence !).

Pour ce qui est de la stabilité tu m'avais deja repondu sur un autre post et je t'en remercie j'ai tres bien compris à present. en faite la je me pose plus la question sur des cas particulier mais je voudrais savoir si il y a des reponses pour le cas general

Donc au final, pour simuler un problème type crash, c'est pas trop pénible d'avoir un temps petit car le phénomène est bref. Par contre, si tu souhaite modéliser un phénomène long, alors la ton temps très petit, va devenir très contraignant !

le pas de temps va devenir tres contraignant: cela veut dire quoi exactement que les temps de calculs vont être plus long qu'en implicite?
En faite en implicite c'est pluis long qu'en explicite sauf pour des phenomaines long?



Concernant les systemes raides tu en as une petite idee de la reponse?
( j'ai entendu est que certains schema sont plus approprié pour les systemes raides, par contre je ne sais pas lesquels c'est et ni pourquoi...
)

[KerLannais]

Salut,

Très souvent impliciter des schémas permet de gagner en stabilité mais, même si je ne peux te citer d'exemple, il y a certainement des cas où cela ne marche pas, c'est plus une recette qu'autre chose et en tout cas c'est sûr qu'il n'y a aucun théorème général qui la justifie. Cependant, le fait que l'on puisse gagner de la stabilité en implicitant est intuitif.

Grosso modo ton schéma te donne une suite d'approximations qui est sensée converger vers la solution de ton problème non discrétisé. Quand tu discrétise ton équation

tu obtiens une relation

(j'ai pris le cas simple où une approximation peut se calculer à partir seulement de l'approximation précédente mais on peut généraliser l'idée au cas où on utilise pas seulement l'approximation précédente mais aussi d'autres ... )
en général tu mets facilement cette relation sous la forme

c'est ton schéma explicite de base, souvent le schéma implicite correspondant est

Il faut alors résoudre l'équation

pour trouver en fonction de .
(En fait il y a plusieurs façon d'impliciter un schéma, on peut remplacer seulement certaines occurrences de dans l'expression puisque peut apparaître plusieurs fois dans l'expression de ).
Le problème de la stabilité est le problème de la propagation et de l'amplification d'erreurs d'une étape à la suivante. On sait pertinamment que l'on commet des erreurs puisque l'on a discrétisé le schéma mais puisque on a une suite récurrente, en plus on récupère à chaque étape les erreurs de l'étape précédente. La question de la stabilité se pose ainsi, on a une méthode de calcul

Pour une erreur on aura

avec une erreur sur
qui dépend essentiellement du "bon comportement" de la fonction qui à associe en . Un schéma est stable si pour un raisonnable n'est pas énorme.

L'idée intuitive de l'implicitation consiste à se dire que, moins on utilisera la valeur "fausse" de pour calculer plus on minimisera la propagation de l'erreur. Bien sûr on aura forcément besoin de pour calculer mais on a pas confiance en la précision de et donc on essaie de "l'utiliser le moins possible" dans le calcul de en remplaçant des occurrence de par ce qui ne change rien à la consistence du schéma puisque à la limite .

Bien sûr ce n'est qu'une idée qui aucune raison de marcher à tous les coups puisque au final plutôt que de calculer

on calcule

avec la fonction réciproque (encore faut-il qu'elle existe) de la fonction . Il n'y a pas de raison particulière que ait un meilleurs comportement (soit "plus continue") en que . Mais les diverses façon d'impliciter donne diverses fonctions pour remplacer et parmis celles-ci il peut y en avoir une qui se comporte mieux vis à vis de la stabilité même si elle requiert une complexité de calcul plus importante. D'où l'idée qu'en cas de problème de stabilité l'implicitation est une façon de réexprimer le calcul d'une étape à la suivante qui peut (ou pas forcément) arranger les choses. Dans les cas simples, si un schéma est instable alors sa version implicite est stable et inversement (sauf que si le schéma explicite à la base est stable alors on a pas besoin de faire quoi que ce soit). En effet, si est une fonction de remplacement régulière alors un critère de bon comportement est que sa dérivée au voisinage de soit petite puisque d'après l'inégalité des accroissements finis

Si le schéma de base est instable c'est que grosso modo la dérivée de est "méchante" et en temps que fonction réciproque la dérivée de est grosso modo l'inverse de la dérivée de et donc "gentille".

Mais bon dans tous les cas il faut regarder rigoureusement ce que peut donner l'implicitation d'un schéma.

[invite9c7554e3]

Salut kerlannais,

merci beaucoup pour cette reponse très complete!!!


il y a juste un passage que je n'ai pas compris:

En effet, si est une fonction de remplacement régulière alors un critère de bon comportement est que sa dérivée au voisinage de soit petite puisque d'après l'inégalité des accroissements finis

Si le schéma de base est instable c'est que grosso modo la dérivée de est "méchante" et en temps que fonction réciproque la dérivée de est grosso modo l'inverse de la dérivée de et donc "gentille".

[KerLannais]

Ca se voit mieux sur un dessin mais c'est pas forcément pratique. Dans ce passage je considérais des des fonctions d'une variable pour pouvoir parler de dérivée. La question est de déterminer la sensiblité d'une fonction sur la valeur de son argument . Tu as la vraie valeur et la valeur fausse mais pas trop loin de , on pose . Toi ce que tu peux calculer c'est seulement mais tu espère que tu n'es pas trop loin de , on pose . On a alors l'erreur relative

donc tu vois que ce qui compte c'est la dérivée de en ou autrement dit la pente de la tangente à la fonction au point ou tu veux la calculer. Ainsi, si ta fonction est très pentue au point ou tu veux la calculer, si tu une petite erreur sur l'argument (tu te décales un peu en x) alors tu peux faire une grosse erreur sur la valeur calculée (tu te décale beaucoup en y). Inversement, si ta fonction est plutôt plate au point ou tu veux la calculer alors c'est super cool. Il est bien connu que si est la pente de la tangente en un point de la fonction alors la pente de la tangente au même point mais de la fonction réciproque est
De sorte que, si une fonction est "instable" alors sa réciproque est "stable" ce qui paraît logique.

Exemple

en

sa réciproque

(en effet, on a bien )

dans un cas, si on fait une erreur alors on calcule
au lieu de
et on commet l'erreur
, soit une erreur relative de , on peut dire que est méchante parce qu'elle amplifie monstrueusement les erreurs.
Sa réciproque par contre est super gentille, mettons que l'on était pas très en forme et vraiment pas doué de sorte que l'on ait fait une erreur sur l'argument (on s'y est vraiment pris comme des porcs) mais ce n'est pas grave du tout puisque l'on calcule

qui est très proche de

pour le coup on a une erreur qui est incomparablement plus précise que la précision machine et en fait c'est normal puisque l'erreur relative est de .

Bon c'est un peu exagéré mais j'espère que tu comprends l'idée

Tu peux aussi t'amuser avec l'exemple de la fonction cube (gentille) et de sa réciproque la racine cubique (méchante) en 0.

[invite6f25a1fe]

le pas de temps va devenir tres contraignant: cela veut dire quoi exactement que les temps de calculs vont être plus long qu'en implicite?
En faite en implicite c'est pluis long qu'en explicite sauf pour des phenomaines long?

En fait, ton problème physique te donnera des ranges de variation pour tes parametres. Par exemple, x ira de 0m à 10m, et ton phénomène a un temps caractéristique de T=1min.

Du coup, tu vas surement prendre une durée un peu plus grande que T pour bien observer ton phénomène, sans être trop grand (car ca ne servira à rien, tu verras rien de plus). On va dire quelque chose comme 5min au total du coup

Idéalement, à partir de ces 2 ranges : 10m et 5min, tu vas discrétiser ton problème. Admettons que tu aies besoin d'une assez bonne résolution, genre Dx=0.1m (psa en X = résolution spatiale).

Que faire pour le pas de temps ?
- si inconditionnellement stable : tu peux prendre le pas de temps que tu veux. Ici, une fracation de T pour bien voir ce qui se passe. On va dire Dt=T/10=1min/10=6s. C'est par exemple le cas des schémas implicites qui sont souvent inconditionnellement stables.

Du coup, il te faudra 50 itérations en temps pour finir ton calcul.

- si tu as une condition CFL (schéma explicite plutôt), alors là, ton pas de temps n'est plus à prendre n'importe comment car Dt<C.Dx². Pour l'exemple, on va prendre C=1 min/m². Du coup, ca te fait un pas en Dx². Or Dx² est déjà très petit car c'est ta résolution spatiale -> Dt devra être inférieur à 0.1² soit 0.01min, ce qui correpond à 500 itérations !!! (pour réduire les itérations, t'aurais voulu prendre un pas de temps comme dans le premier cas de Dt=0.1min, mais ce n'est pas possible à cause de ta condition CFL qui t'impose une condition).

D'où :
- Pour les phénomènes rapides : le fait d'avoir un pas de temps imposée petit n'est pas grave, vu que le temps d'obersvation sera très cours : donc peu d'itérations

- Pour un phénomène long, alors là ca pause problème, car ta condition imposant un pas de temps petit, tu devras faire beaucoup plus d'itérations pour finir ton calcul ! Du coup, autant prendre un schéma implicite qui ne te donnera plus cette condition et tu pourras choisir le pas de temps qui convient bien pour ne pas faire trop d'itérations (donc pas faire trop de temps de calcul)

[invite9c7554e3]

merci beaucoup pour vos super reponses! super completes!

il faut que je m'y plonge à tete reposer, mais je pense que ca ira


merci beaucoup!!!