equadiff ordre 1 et 2, origine solutions

[invite9c7554e3]

Bonjour tous,

Comme mon titre l'indique je m'interroge sur l'origine des solutions d'equadiff d'ordre 1 et 2.

1°) tout d'abord je comprends pas pourquoi on dit que la solution d'une equadiff est la somme d'une solution particuliere et d'une solution de l'equation homogene

==> En fait moi si je ne saurais pas ce theoreme je ne penserais qu'à trouver la solution particuliere, en effet si on me donne cette equation:


et bien je reponds directement y=cste, et je ne vois pas pourquoi on cherche la reponse de cette equation
et que l'on ajoute cette solution à la première


2°) Equadiff d'ordre 1:
Je connais la demonstraction de la solution de

mais par contre je ne connais pas la demonstration de la solution générale de l'equadiff suivante (sauf en appliquant le theoreme que je ne comprends pas que j'ai detaillé ci dessus au 1°) )



3°) Equadiff d'ordre 2:


je comprends que l'on cherche la solution de cette forme:

et que l'on tombe donc sur une equation caractéristique à resoudre mais pourquoi ensuite on a dans la solution deux exponentielles? au lieu d'une comme la solution recherchée?

==> à la limite je dirais qu'il y a deux solutions pour des racines doubles:

et


mais pourquoi une solution qui est ?

4°) pour les equadiff d'ordre n je pense que la solution sera comme les equadiff d'ordre 2 en ayant , es ce bien cela?? (ou yi indique la solution correspondant à une des racine de l'equation caracteristique)

J'espere que vous pourrez m'apporter des réponses à tout cela car ca me tracasse
-----

[invite091bc544]

1) Si tu as toutes les solutions de , et une solution particulière de , posons





f est donc une solution. Comme on sait que l'ensemble des solutions est de dimension 1, il s'agit de toutes les solutions possibles

2) cf 1

3) cf 1.

4) cf 1.

:=)

[Elie520]

mais pourquoi une solution qui est ?

Parce que comme la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, alors si et marchent, alors aussi.

Tu comprends ? Ou tu as besoin de la démonstration comme quoi marche ?

[Elie520]

4°) pour les equadiff d'ordre n je pense que la solution sera comme les equadiff d'ordre 2 en ayant , es ce bien cela?? (ou yi indique la solution correspondant à une des racine de l'equation caracteristique)

J'espere que vous pourrez m'apporter des réponses à tout cela car ca me tracasse

Je pense qu'il n'y a pas que mais plutôt toutes les combinaisons linéaires possibles.
En effet:

Soit avec tous les solutions différentes de l'équation différentielle et

Comme les sont des constantes, on a : , avec les solutions, alors est solution de l'équation différentielle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c7554e3]

merci elie et ydethe pour vos reponses

f est donc une solution. Comme on sait que l'ensemble des solutions est de dimension 1, il s'agit de toutes les solutions possibles

Mais la solution de l'equation homogene elle vient faire quoi dans l'histoire? car pour la trouver on a pas resolut notre equation mais une equation modifiée en enlevant le 2nd membre?

je peux comprendre que ce f soit donc solution mais pourqioi conserver cette solution plutot qu'une des deux dernières seulement?
on pouquoi pas du coup conserver la solution où A est une constante car c'est une combinaison lineaire des deux autres solution?

[inviteaf1870ed]

Imagine l'équation différentielle comme une application linéaire D de l'espace des fonctions dans lui même (je reste vague sur l'espace des fonctions à dessein).
Cherchons les solutions de l'équation Dy=0, tu vois que c'est un sous espace vectoriel, car c'est le noyau de D. J'appelle k un élément quelconque de ce noyau, qui vérifie donc Dk=0.
Dans le cas où K est de dimension 1, tous les k sont colinéaires. Dans le cas où K est de dimension n, on en prend une base k1, k2,...kn.

Ensuite on cherche une solution à l'équation Dy=cte. Si on connait une fonction y0 qui vérifie cette équation, alors y0+k la vérifie aussi (car D est linéaire et Dk=0).

Enfin un théorème nous dit que la solution de cette équation est un espace affine de dimension n (suivant le degré de l'équation), ce qui clot le problème

[invite9c7554e3]

Imagine l'équation différentielle comme une application linéaire D de l'espace des fonctions dans lui même (je reste vague sur l'espace des fonctions à dessein).
Cherchons les solutions de l'équation Dy=0, tu vois que c'est un sous espace vectoriel, car c'est le noyau de D. J'appelle k un élément quelconque de ce noyau, qui vérifie donc Dk=0.
Dans le cas où K est de dimension 1, tous les k sont colinéaires. Dans le cas où K est de dimension n, on en prend une base k1, k2,...kn.

Ensuite on cherche une solution à l'équation Dy=cte. Si on connait une fonction y0 qui vérifie cette équation, alors y0+k la vérifie aussi (car D est linéaire et Dk=0).

Enfin un théorème nous dit que la solution de cette équation est un espace affine de dimension n (suivant le degré de l'équation), ce qui clot le problème

merci beaucoup eric d'avoir prit le temps de repondre mais franchement le langage mathematique me perd completement, je suis plus physicien que matheu.... et cela fait appel à de trop anciens souvenir....je ne comprends pas cette histoire de Dy=0 ou Dy=cte....

[inviteaf1870ed]

Bon, c'est un peu difficile de s'aventurer dans la résolution des équa diff sans bagage mathématique minimum.

En gros ce qu'il faut comprendre c'est que la dérivation est linéaire. C'est à dire que, si f,g,h... sont des fonctions, et a,b,c...des scalaires, alors
(af+bg+ch)'=af'+bg'+ch'.

Donc si tu as plusieurs solutions de ton équation différentielles E0 (avec second membre nul), toute combinaison de ces solutions sera encore nulle.

Ensuite si tu as une solution particulière de l'équation E (avec second membre non nul), tu peux lui ajouter toute combinaison linéaire de solutions de E0, cela restera une solution de E.

C'est plus clair ?

[invite9c7554e3]

Bon, c'est un peu difficile de s'aventurer dans la résolution des équa diff sans bagage mathématique minimum.

En gros ce qu'il faut comprendre c'est que la dérivation est linéaire. C'est à dire que, si f,g,h... sont des fonctions, et a,b,c...des scalaires, alors
(af+bg+ch)'=af'+bg'+ch'.

Donc si tu as plusieurs solutions de ton équation différentielles E0 (avec second membre nul), toute combinaison de ces solutions sera encore nulle.

Ensuite si tu as une solution particulière de l'équation E (avec second membre non nul), tu peux lui ajouter toute combinaison linéaire de solutions de E0, cela restera une solution de E.

C'est plus clair ?

oui merci c'est tout à fait clair.

la seul chose que je ne comprends pas est pourquoi conserver la solution y=Y0+YP plutot que YP ou Y0 seule ou une autre combinaison lineaire de YP et Y0 ???

[invite6f25a1fe]

oui merci c'est tout à fait clair.

la seul chose que je ne comprends pas est pourquoi conserver la solution y=Y0+YP plutot que YP ou Y0 seule ou une autre combinaison lineaire de YP et Y0 ???

Pour te donner une idée, c'est excatement comme les droites affines dans le plan : tu les définis par une direction (une pente m par exemple), une ordonnée à l'origine (Y1) et tu dis que cette droite affine est Y=Y1+mx

C'est exactement pareil avec ton équa diff.
- le mx représente la solution de ton équation homogène Y0 (second membre nul)
- le Y1 joue le même role que ton Yp dans ta solution.

Tu vois bien que ta droite ne peut pas être décrite par Y1 seul ou mx seul (ce ne sont pas les même droites), mais bien par Y1+mx. Tu vois aussi que Y1+2mx ne marche pas non plus etc. C'est bien Y1+mx qu'il faut considérer !

De même avec ton equa diff, c'est bien Y0+Yp qui permet d'avoir toutes les solutions.

Pour le coté plus math : l'analogie avec les droites affines n'est pas un hasard. Les droites comme les équations différentielles linéaires ont la meme structure (structure affine) qu'on décrit par :
- les solutions du problème linéaire associé (l'équation homogène dans le cas des E.D, le Y=mx pour les droites -> théorie des espaces vectoriel, des applications linéaires etc ...)
- un point particulier qui donne le caractère affine (la solution particuli-ère, ou le Y0 dans le cas des droites)

[invite9c7554e3]

Pour te donner une idée, c'est excatement comme les droites affines dans le plan : tu les définis par une direction (une pente m par exemple), une ordonnée à l'origine (Y1) et tu dis que cette droite affine est Y=Y1+mx

C'est exactement pareil avec ton équa diff.
- le mx représente la solution de ton équation homogène Y0 (second membre nul)
- le Y1 joue le même role que ton Yp dans ta solution.

Tu vois bien que ta droite ne peut pas être décrite par Y1 seul ou mx seul (ce ne sont pas les même droites), mais bien par Y1+mx. Tu vois aussi que Y1+2mx ne marche pas non plus etc. C'est bien Y1+mx qu'il faut considérer !

De même avec ton equa diff, c'est bien Y0+Yp qui permet d'avoir toutes les solutions.

Pour le coté plus math : l'analogie avec les droites affines n'est pas un hasard. Les droites comme les équations différentielles linéaires ont la meme structure (structure affine) qu'on décrit par :
- les solutions du problème linéaire associé (l'équation homogène dans le cas des E.D, le Y=mx pour les droites -> théorie des espaces vectoriel, des applications linéaires etc ...)
- un point particulier qui donne le caractère affine (la solution particuli-ère, ou le Y0 dans le cas des droites)

Merci beaucoup scorp, j'ai compris, l'imae avec les droites est pas mal!